Третье обоснование теории вероятностей

Если до Борелябыло принято рассматривать либо вероятности конечного числа событий (типа бросаний монеты), либо непрерывные вероятности (типа попадания неточно измеренной величины в данный отрезок или квадрат), то Борель стал оперировать с бесконечными последовательностями цифр, т.е. со счетными множествами и, соответственно, со счетными вероятностями. При этом расплывчатое выражение " событие происходит с ничтожной вероятностью" уступило место точному термину " событие имеет нулевую вероятность", понимаемому так: событие возможно, но его вероятность выражается нулевой мерой. Пример из области непрерывных вероятностей: шар может упасть на плоскость любой своей точкой, однако вероятность того, что он упадет любой заданной точкой, равна нулю.

Вернемся к упомянутому примеру Бореляиз области счетных вероятностей: равна нулю вероятность того, что наугад взятая последовательность цифр периодична. Вообще, нулевую меру имеет любая особенность в структуре действительного числа и, в частности, такая: если значение m-ой цифры зависит от значения n-ой (m> n). Этот фундаментальный факт значит, что почти всякое(*) иррациональное (а значит, и почти всякое действительное) число случайно по Ламберту.

Другое столь же фундаментальное свойство, которое следует из того, что все последовательности взяты по одному разу, звучит так: почти всякое вещественное (в том числе рациональное) число имеет столько же нулей, сколько и единиц (Борельназвал такие числа " нормальными"). Его можно выразить иначе: вероятность того, что в двоичной дроби число нулей равно числу единиц, равна единице. Легко видеть, что это утверждение есть ЗБЧ для идеальной монеты, брошенной бесконечное число раз [Кац, 1963, c. 26-36; Ширяев, 1998, c. 112–113]. Вместе оба свойства означают устойчивость частот.

Она тут не постулирована, а выведена из свойств поля вещественных чисел. Этот фундаментальный результат есть следствие реализационной симметрии множества действительных чисел, т.е. того факта, что каждая запись взята ровно один раз. Иначе говоря, Борельистолковал меру как вероятность, продолжив линию Кардано– Бернулли, когда вместо случайных испытаний производится математическое действие, " демонстрирующее все формы". Воттретье обоснование феномена вероятности. Исторически оно явилось первым.

Борельфактически ответил на вопрос Ламберта: отсутствие " порядка сходства" между знаками иррационального числа есть наиболее общая симметрия, какая вообще мыслима среди чисел. Любая зависимость между знаками числа, даже самая на вид симметричная, являла бы собой более частную симметрию. Однако этот ответ чисто формален и практически бесполезен, пока не сказано, как устроено множество тех конкретных чисел, с которыми мы обычно имеем дело. А вдруг большинство интересных нам чисел как раз неслучайны по Ламберту? Ответ будет дан в п. 8.