Пример решения задачи. Даны координаты вершин пирамиды:

Даны координаты вершин пирамиды:

А ₁ (2, 4, –3),

А ₂ (5, 6, 3),

А ₃ (–2, 7, –3),

А ₄ (4, 1, 0).

Решение:

1.Покажем, что векторы , и образуют базис. Найдем координаты векторов

={ x ₂ – x ₁, y ₂ – y ₁, z ₂ – z ₁} = {5 – 2, 6 – 4, 3 – (–3)} = {3; 2; 6},

= {–4, 3, 0}, = {2, –3, 3}.

Найдем смешанное произведение векторов , и

Так как смешанное произведение векторов отлично от нуля, то векторы

, и не компланарны, линейно независимы и потому образуют базис в R³.

.

2. Объем пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ можно вычислить, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов (см. пункт г) справочного материала).

Модуль смешанного произведения векторов (, , ) равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , как на сторонах, а объем пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ составляет шестую часть объема этого параллелепипеда, т.е.

(куб. ед.).

3.Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ найдем как угол между векторами = {3; 2; 6} и = {4 – 2, 1 – 4, 0 – (–3)} = {2, –3, 3}, используя скалярное произведение векторов:

(, ) = arccos 0, 5482 = 56°46¢.

4. Площадь грани А ₁ А ₂ А ₃ можно вычислить, используя геометрический смысл векторного произведения векторов (см. пункт в) справочного материала). Найдем векторное произведение векторов

и =

и его модуль:

.

Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, а площадь грани А ₁ А ₂ А ₃ составляет половину площади этого параллелограмма, т.е.

(кв. ед.).

5. Составим уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃. Поскольку плоскость П проходит через три точки А ₁(2, 4, –3), А ₂(5, 6, 3), А ₃(–2, 7, –3), то согласно (2) получим:

= –18(x – 2) – 24(у -4) + 17(z + 3) = 0

или

18 х + 24 у – 17 z –183 = 0.

6. Составим уравнение высоты h, опущенной на грань А ₁ А ₂ А ₃ из вершины А ₄. Известны координаты точки А ₄(4, 1, 0), через которую проходит эта прямая, искомая прямая имеет направляющий вектор , параллельный нормальному вектору = {18, 24, –17} плоскости П грани А ₁ А ₂ А ₃. Тогда согласно (4) канонические уравнения искомой прямой:

.

Длину высоты h найдем по формуле (3)

.

Ответ:

2) (куб. ед.); 3) 56°46¢;

4) (кв. ед.); 5) П: 18 х +24 у -17 z –183=0; 32°33¢;

6) .