Методом Гаусса

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение одной системы является решением другой системы, т.е. множества решений обеих систем совпадают.

Следующие элементарные преобразования переводят систему в равносильную:

1) перемена местами любых двух уравнений;

2) умножение обеих частей любого уравнения на неравное нулю число;

3) прибавление к обеим частям любого уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на произвольное число.

Данные преобразования проще выполнять над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, которая называется расширенной матрицей системы:

а ₁₁ а ₁₂ а ₁₃ … а _1n b ₁

(А IВ) = a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ … a _2n b ₂

---------------------- ---

a _m1 a _m2 a _m3 … a _mn b _m

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных и в приведении расширенной матрицы системы к треугольному

или ступенчатому виду путем элементарных преобразований.

Пусть с помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к треугольному виду:

или к ступенчатому виду

Треугольный вид соответствует совместной определенной системе, т.е. исходная система имеет единственное решение. Ступенчатый вид соответствует при b_r+1 ≠ 0 несовместной системе, а при b_r+1 = b_r+2 = … = b_m = 0 совместной неопределенной системе (в этом случае система имеет бесконечное множество решений).