Теорема Лиувилля.

Дальнейшие следствия теоремы Коши и интеграла Коши.

Теорема Морера. Если f(z)Î C(g), g-односвязная и для " gÌ g: ò _gf(z)dz=0, где g-замкнутый контур, который можно стянуть в точку, оставаясь в g, то f(z)Î C^¥ (g).

Доказательство. При условиях теоремы $ F(z)= Î C^¥ (g) (Теорема 6.4), где z₀ и z- произвольные точки g, а интеграл берется по " путиÌ g, соединяющему эти точки. При этом F'(z)=f(z). Но производная аналитической функции сама является аналитической функцией, т.е. $ F" (z)Î C(g) а именно F" (z)=f'(z). n

Замечание.

1. Теорема Морера является в некотором смысле обратной к теореме Коши.

2. Теорема 8.4 и Теорема Морера справедливы и для многосвязных областей.

Теорема Лиувилля.

Если f(z)Î C^¥ (E) и f(z)¹ const, то при z®¥, |f(z)|®¥.

Другая формулировка:

Если f(z)Î C^¥ (E) и $M: |f(z)|£ M (|f(z)|- равномерно ограничен), то f(z)º const.

Доказательство. По теореме 8.1 f'(z)= ., где C_R: |x-z|=R. По условию теоремы $M: |f(z)|£ M, независимо от R => |f'(z)|£ 2pRM/2pR²=M/R. Т.к.. R можно выбрать сколь угодно большим (R®¥), а f'(z) не зависит от R, то |f'(z)|=0. В силу произвольности выбора z, |f'(z)|=0 на всей комплексной плоскости E=> f(z)º const для " z.n

Определение. f(z)Î C^¥ (E)(на всей комплексной плоскости) (z¹ ¥) называется целой функцией.

Целая функция ¹ const не может быть ограничена по абсолютной величине.

Так например, целые функции sin z и cos z неограничены по модулю!

Пример целой функции. f(z)=zⁿ. Отображение области однолистности: сектор раскрыва 2p/n отображается на всю комплексную плоскость.

Следствие. Невозможно отобразить конформно (с помощью аналитической функции) плоскость с выколотой точкой или расширенную плоскость (т.е. область с границей, состоящей из одной точки) на единичный круг!

§9. Интегралы, зависящие от параметра.

Пусть на комплексной плоскости z заданы: кусочно- гладкий контур C конечной длины L: ò _Сds=L, область g, и функция двух комплексных переменных w=j(z, x) zÎ g, xÎ C, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Для " x₀Î C j(z, x₀)=f(z)Î C^¥ (g): $¶j/¶z(z, x₀)Î C^¥ (g).

2. j(z, x)- непрерывна по совокупности переменных. Т.е. " e> 0 $d(e, z, x)> 0: |j(z+Dz, x+Dx)-j(z, x)|< e при |Dz|, |Dx|< d.

3. ¶j/¶z(z, x), …, ¶ⁿj/¶zⁿ(z, x)- также непрерывны по совокупности переменных.

Замечание. Из 2 следует, что j(z, x) непрерывна по z для " zÎ g равномерно по x, т.е. для фиксированного z₀Î g и " e> 0 $d(e, z₀)> 0: такое, что |j(z₀+Dz, x)-j(z₀, x)|< e при |Dz|< d для всех xÎ C одновременно.

Доказательство. От противного, аналогично доказательству равномерной непрерывности в замкнутой области (Теорема 3.3).

Из п.3 следует аналогичное утверждение для ¶j/¶z(z, x). Кроме того, действительная и мнимая часть и j(z, x), и ¶j/¶z(z, x) – также непрерывны по совокупности переменных.

Теорема 9.1 Если j(z, x), zÎ g, xÎ L удовлетворяет условиям 1-3, то интеграл, зависящий от параметра z $ и является аналитической функцией z в области g.

ò _Lj(z, x)dx=F(z)Î C^¥ (g) и F⁽ⁿ⁾(z)=ò _L¶ⁿj/¶zⁿ(z, x)dx.

Доказательство. Доказательство разобьем на 3 этапа:

1. F(z)Î C(g)

|DF|=|F(z+Dz)-F(z)|=|ò _L[j(z+Dz, x)-j(z, x)]dx |£ L |j(z+Dz, x)-j(z, x)|< (по замечанию к условию 2) < Le'< e как только |Dz|< d(e).

2. $ =F'(z)=

£ £ <

< (по замечанию к условию 2) < Le'< e как только |Dz|< d(e).

3. F'(z)Î C(g).

Доказывается аналогично п.1.

Итак, F(z)Î C^¥ (g) и F⁽ⁿ⁾(z)=ò _L¶ⁿj/¶zⁿ(z, x)dx. n

§10. Ряды аналитических функций.

п.1. Числовые ряды.

Пусть дана последовательность . Составим S_n= a_k- частичная сумма, составим последовательность частичных сумм и рассмотрим a_k - числовой ряд.

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если сходится {S_n}®S. Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда =S.

Необходимый и достаточный признак сходимости: Критерий Коши сходимости числовой последовательности: для " e> 0 $N(e): для " n³ N и " m> 0 ï S_n+m-S_nï < e.

Отсюда следует необходимый признак: a_n®0. (Но не достаточный!).

Доказательство. Пусть ряд сходится, тогда " e> 0 $N(e): для " n³ N и " m> 0 ï S_n+m-S_nï < e => для " n³ N |a_n+1|=ï S_n+1-S_nï < e => a_n®0. n

Определение. = r_n- n-й остаток ряда.

Т.к. r_n+m-r_n= =S_n+m-S_n, то необходимым и достаточным признаком сходимости числового ряда является стремление |r_n|®0 при n®¥.