Теорема о нулях аналитической функции.

Пусть f(z)Î C^¥ (g) и обращается в 0 в бесконечном множестве различных точек (z_i¹ z_k, все z_nÎ g и f(z_n)=0), имеющем предельную точку (точку сгущения) z^*Î g ( z_n=z^*Î g). Тогда f(z)º 0, для " zÎ g.

Доказательство. По непрерывности f(z^*)=0 => f(z)= c_n(z-z^*)ⁿ, где |z-z^*|< r(z^*) => c₀=0, и f(z)=(z-z^*)f₁(z); f₁(z)= c_n(z-z^*)ⁿ; f₁(z_n)=0=> по непрерывности f₁(z^*)=0 => c₁=0 и так далее => c_n=0 для " n. Итак, т.к. все коэффициенты разложения в ряд Тейлора равны 0, то f(z)º 0 в круге |z-z^*| < r(z^*), где r(z^*) не меньше, чем расстояние от z^* до ¶g. Тождественное равенство f(z)º 0 во всей области g доказывается аналогично доказательству принципа максимума.

Достаточно показать, что f(z^**)=0, где z^**Î g - произвольная точка, лежащая вне круга |z-z^*| < r(z^*). Соединим z^* и z^** спрямляемой кривой L, целиком лежащей в g и отстоящей от ¶g на расстояние d> 0. Поскольку " точку круга |z-z^*|< r(z^*), лежащую внутри g можно рассматривать как предел последовательности нулей функции f(z), то выбрав в качестве нового центра разложения последнюю точку z=z₁ пересечения кривой L с окружностью |z-z^*|=r(z^*), получим, что f(z)º 0 внутри круга |z-z₁|< r(z₁), где r(z₁)³ d. Продолжая этот процесс, покроем кривую L конечным числом кругов, радиусов не меньше d, внутри которых f(z)º 0. При этом точка z=z^** попадет внутрь последнего круга => f(z^**)º 0. В силу произвольности z^** => f(z)º 0 в g.n