Одно из таких приближений базируется на использовании ряда Тейлора

Следовательно, выражение (3) может быть приблизительно представлено звеном первого порядка

(9)

или звеном второго порядка

(10)

и т.д.

Более точное приближение дает разложение в ряд Паде. При использовании звена первого порядка

(11)

При использовании звена второго порядка

(12)

3. Регулятор Смита. Достоинства и недостатки.

Компенсация влияния чистого запаздывания в замкнутых САУ.

Для нейтрализации вредного влияния запаздывания используются регуляторы, которые компенсируют звено чистого запаздывания. Одним из таких способов компенсации является регулятор Смита. Структурная схема САУ с регулятором

Рис.2.

Смита представлена на рис.2.

Wp(p) - передаточная функция регулятора

Wo(p) - передаточная функция объекта

- передаточная функция модели объекта

- передаточная функция модели запаздывания.

Применяя структурное преобразование схемы на рис.2, получим, что передаточная функция замкнутой системы при = Wo(p) и = t определяется следующим выражением:

(13)

Из (13) видим, что, хотя запаздывание в системе сохраняется (физически это неизбежно), в характеристическом уравнении звено чистого запаздывания отсутствует. Следовательно, действие запаздывания на устойчивость и качество переходных процессов полностью скомпенсировано. Это является несомненным достоинством рассмотренного регулятора.

Недостатком регулятора является его чувствительность к изменениям параметров объекта, которое на практике всегда имеет место.

4. Разностное уравнение для описания цифровых систем.

В предыдущей статье мы рассмотрели способ описания дискретных линейных систем с помощью формулы свертки входного сигнала x (k) с импульсной характеристикой дискретной системы h (k). Наряду с этим способом так же используется описание соотношения вход/выход линейной дискретной системы с помощью линейных разностных уравнений вида:

y (k) = b ₀· x (k) + b ₁· x (k –1) + b ₂· x (k –2) + … + b_n–

–a₁·y(k–1) –a₂·y(k–2) – … –a_m·y(k–m) = (1)

где b_i, b_j – вещественные константы-коэффициенты, называемые внутренними параметрами линейной дискретной системы;

x (k), y (k) – воздействие и реакция

Линейная дискретная система, описываемая по формуле 1, отвечает условиям физической реализуемости, так как при нулевых начальных условиях реакция не может возникнуть раньше воздействия, потому что значение реакции y (k) зависит от текущего и предыдущих значений воздействия и не зависит от последующих.

Линейное разностное уравнение является аналогом линейного дифференциального уравнения, с помощью которого описывается связь между входным и выходным сигналом аналоговой линейной системы:

y (t) = –...

...– =...

...= (2)

Рассмотрим, каким образом можно осуществить переход от дифференциального уравнения к разностному. Перейдем к дискретному времени. Рассмотрим ряд соответствий:

dt => T _д, где T _д – период дискретизации;

dⁿx (t) => ∆ ⁿx (k), где ∆ ⁿx (k) – конечная разность n -порядка воздействия;

dⁿy (t) => ∆ ⁿy (k), где ∆ ⁿy (k) – конечная разность n -порядка реакции;

Конечная разность n -порядка определяется по формуле:

∆ ⁿx(k) = ∆ ^{n -1} x(k) – ∆ ^{n -1} x(k-1) (3)

К примеру, аналогом дифференциала первого порядка является первая конечная разность:

∆ x(k) = x(k) – x(k-1),

аналогом второго - вторая:

∆ ² x(k) = ∆ x(k) – ∆ x(k-1) =

x(k) – x(k-1) – x(k-1) + x(k-2) = x(k) – 2 x(k-1) + x(k-2)

Коэффициенты перед x (k) могут быть определены при помощи бинома Ньютона.

Рассмотрим пример перехода к разностному уравнению:

Пусть аналоговая система описывается диффиринциальным уравнением первого порядка уравнением:

y (t) = ;

Осуществим переход к дискретному времени:

dt => T _д

dx (t) => ∆ x(k)

y (k) = =... ..= =......= b ₀^’ x (k) – b ₀^’ x (k -1),

где ;

Связь между значениями решетчатой функции при разных значениях аргумента определяется с помощью конечных разностей, которые являются аналогами производных в дифференциальных уравнениях.

Разностью первого порядка (первой разностью) называется разность между последующим дискретным значением решетчатой функции и ее текущим значением:

Dx(k) = x(k+1) – x(k).

Разность первого порядка характеризует скорость изменения решетчатой функции и, следовательно, является аналогом первой производной непрерывной функции.

Разность второго порядка определяется как разность двух соседних разностей первого порядка:

D²x(k) = Dx(k+1) - Dx(k) = [x(k+2)-x(k+1)] – [x(k+1)-x(k)] = x(k+2) - 2x(k+1) + x(k).

Разности любого m-го порядка вычисляются аналогично:

D^mx(k) = D^m-1x(k+1) - D^m-1x(k).

D^mx(k) = (-1)ⁿ x(k+m-n) m! /[k! (m-n)! ].

5. Рекуррентное выражение для дискретного интегратора.

6. Решетчатая функция.

8.1. Определение дискретной САУ.

Система автоматического управления называется дискретной, если выходная величина какого – либо ее элемента имеет дискретный характер.

Большое внимание к теории и практике дискретных систем объясняется все большим использованием в замкнутом контуре управления цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Это обеспечивает системе значительно большие вычислительные возможности, высокую стабильность, простоту перестройки ее структуры и параметров.

Так как информация о состоянии объекта управления является непрерывной, то перед подачей на вход ЦВМ ее необходимо преобразовать в дискретную форму. Эту задачу выполняет преобразователь “ аналог – код ”, который в теории автоматического управления принято называть импульсным элементом” (ИЭ). Дискретизация осуществляется путем квантования непрерывного сигнала по времени и по уровню. Это означает, что аналоговый сигнал в ИЭ через равные промежутки T заменяется дискретными по уровню значениями, ближайшими к значениям непрерывного сигнала (рис.8.1).

x(t)

x^*(iT)

0 t

T 2T 3T ……..iT……………nT

Рис.8.1. Дискретизация непрерывного сигнала

В результате дискретизации непрерывный сигнал заменяется серией импульсов бесконечно малой длительности, амплитуда которых близка к значениям непрерывного сигнала в моменты дискретизации. Ошибки дискретизации по уровню определяются только точностью представления чисел в ЦВМ и они настолько малы, что ими в практических приложениях можно пренебречь. Это дает возможность рассматривать ИЭ только как дискретизатор по времени. На структурных схемах ИЭ изображается в виде ключа. Серия импульсов x^*(iT) на выходе импульсного элемента называется решетчатой функцией. После производства вычислений на выходе ЦВМ информация появляется также в виде тешетчатой функции. Перед подачей этой информации на исполнительную систему, которая является аналоговой, ее необходимо преобразовать из дискретной в непрерывную. Эту задачу решают преобразователи “код – аналог”, которые в теории автоматического управления получили название экстраполяторов. В полном соответствии со своим наименованием, эти устройства экстраполируют значение сигнала на такт вперед. Наиболее часто используется экстраполятор нулевого порядка, который реализует операцию

(8.1)

Работа экстраполятора нулевого порядка иллюстрируется рис.8.2.

x(t)

x^*(iT)

T 2T………iT………nT

Рис.8.2. Работа экстраполятора нулевого порядка

Все вышесказанное позволяет общую схему дискретной (цифровой) САУ изобразить в виде, показанном на рис.8.3.

- Т

Рис. 8.3. Схема дискретной САУ

На схеме под W_нч(s) подразумевается непрерывная часть системы. Следует отметить, что так как в состав системы входят как дискретные, так ианалоговые элементы, то такие системы часто называют дискретно – непрерывными или гибридными.

7. Весовая функция как реакция на решетчатую функцию.

Реакция на единичный импульс последовательности (1.6) определятся весовой функцией объекта . Напомним, что весовая функция – это реакция звена на дельта-функцию.

,

где h(t) - реакция этого же звена (объекта) на единичное воздействие 1(t).

8. Формирующий элемент нулевого порядка.

Формирующее звено порождает из -импульсов на выходе ИИЭ последовательность физических импульсов, характерную для данного устройства. Как отмечалось ранее, импульсная переходная функция формирующего звена s(t) (весовая функция) опреде­ляется формой импульса. Передаточная функция формирующего звена S(p) задается выражением

S(p)=L[s(t)]

Например, если выходная последовательность импульсов имеет вид, представленный на рис.7, то передаточная функция формирующего звена будет

,

где k-коэффициент пропорциональности амплитуды выходного импульса и соответствующей дискретны входного сигнала.

Если выходная величина ИЭ остается постоянной в течение всегоинтервала квантования Т, то формирующее звено называется экстраполятором нулевого порядка. Его передаточная функция имеет вид

(5)

Здесь и далее будем считать, что k=1. В практике импульсного регулирования могут встречаться и другие формы выходных сигналов ИЭ, однако в САУ наиболее часто используются прямоугольные импульсы. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением формирующих звеньев с передаточными функциями (4) или (5).

9. Дискретное преобразование Лапласа.

Чтобы получить единообразное описание всей замкнутой системы, необходимо объект управления представить также дискретной моделью. Для получения точной дискретной модели используется понятие идеального импульсного элемента или сигнала. Идеальный импульсный элемент (сигнал) преобразует непрерывный сигнал x(t) в дискретный по времени сигнал , представляющий последовательность идеальных импульсов, площадь которых в моменты времени равна значению функции (сигнала) x(t) в эти моменты времени (рис.1.3, б). Аналитическая зависимость между этими сигналами определяется выражением

(1.3)

где - идеальный импульс, равный нулю при t - kT > 0 и t - kT < 0, площадью, равной единице при t - kT = 0, то есть в момент времени t = kT (дельта – функция). Очевидно, что амплитуда такого сигнала равна бесконечности. Поэтому импульсы на рис.1.3, б изображены в виде стрелок.

Найдем преобразование Лапласа для этой импульсной последовательности

.

Так как дискретная функция x[kT] относительно аргумента t является постоянной величиной и равна 0 между моментами kT,

можно записать

(1.4)

Учитывая, что

,

получим

.

Преобразование (1.4) является дискретным эквивалентом непрерывного преобразования Лапласа.

10. Приблизительное выражение для формирующего звена при узком импульсе управления.

11. Свойства дискретного преобразования Лапласа.