Нелинейная модель температурного поля в стержне

Торцы стержней нагреваются электрической дугой переменного тока, го-рящей в зазоре между ними. Делается допущение, что эффективная мощность дуги равномерно распределяется по торцам стержней. Плотность теплового потока, поступающего на торец каждого стержня равна: , где q -эффективная мощность дуги, равная q = h U _д I _д. Здесь h - эффективный к.п.д. дуги; U _д, I _д - напряжение и ток дуги; F - площадь сечения торца, равная

F = pD ²/4.

Делается также допущение, что температура на расстоянии l от торца в зажиме постоянна и равна 20 ⁰C.

Математическое описание теплового процесса в стержнях с учетом зави-симости теплофизических коэффициентов металла от температуры запишется в виде уравнений:

1) (52)

2) (53)

3) 3) (54)

4) (55)

Тепловую задачу по нагреву стержней решим численным методом ко-нечных разностей по явной схеме.

Рис. 9. Схема разбиения стержня на слои при решении задачи

численным методом.

Стержень разобьем на n слоев толщиной Dx, а время процесса на интер-валы длительностью Dt. Температуру каждого слоя будем считать постоянной по толщине слоя и равной температуре его середины. Температура слоев стерж-ня в течение интервала времени Dt постоянна и скачкообразно изменяется при переходе к следующему интервалу времени.

Введем следующие обозначения (см. рис. 9):

- температура слоя jв интервал времени k,

- температура слоя j-1 в интарвал времени k,

- температура слоя j+1в интервал времени k,

- температура слоя jв интервал времени k+1.

Далее перейдем от дифференциального уравнения теплопроводности к уравнению в конечных разностях. Для этого выразим производные от темпера-туры по времени и координате, стоящие в дифференциальном уравнении при-ближенно конечно-разностными выражениями:

В результате уравнение в конечных разностях запишется:

(56)

Из этого уравнения получим расчетную формулу для вычисления прира-щений температуры в каждом слое стержня за один интервал времени. Обозначим . Тогда получим формулу:

(57)

Эта формула получена из дифференциального уравнения теплопровод-ности и может быть использована для внутренних слоев стержня j=2, 3... n-1. Для получения расчетных формул для слоев j=1и j= n воспользуемся урав-нениями граничных условий.

Для слоя j=1 получим формулу:

. (58)

Здесь первое слагаемое равно повышению температуры первого слоя за счет поступления на его левую поверхность теплового потока дуги, плотность которого в интервал времени k равна q ₂(k × Dt). Второе слагаемое определяет понижение температуры первого слоя из-за его теплообмена со вторым слоем.

Формулу для расчета приращения температуры слоя nможно получить из формулы для внутренних слоев стержня, так как можно сделать допущение, что справа от него расположен слой n+1, который всегда имеет температуру 20⁰C. Эта формула имеет вид:

. (59)

При использовании метода конечных разностей по явной схеме, когда расчет существенно облегчается по сравнению с неявным методом благодаря возможности расчета температур по формулам вместо решения системы из n алгебраических уравнений, в то же время необходимо соблюдать условие ус- тойчивости решения, которое ограничивает шаг по времени Dt. Для нелиней-ного одномерного теплового процесса условие устойчивости выражается нера-венством:

(60)

Зависимости теплофизических коэффициентов от температуры и задаются в виде таблицы.

При этом учет теплоты плавления (кристаллизации) осуществляется путем введения эффективной теплоемкости в интервале температур ликвидус-солидус по формуле:

(61)

где m - скрытая теплота плавления (кристаллизации);

- температуры солидуса и ликвидуса.