Метод наименьших квадратов. В случае, если экспериментальные данные получены со значительной по-грешностью нет смысла использовать интерполяцию полиномами или сплайна-ми

В случае, если экспериментальные данные получены со значительной по-грешностью нет смысла использовать интерполяцию полиномами или сплайна-ми. В этом случае проводят аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зави-симость, сглаживает возможные выбросы за счет погрешности эксперимента.

Пусть x _i – узлы исходной таблицы, где 0 £ i £ n. Известны экспериментальные данные f(x _i )= f _i. Обозначим аппроксимирующую функцию j(x). В узлах j(x) и f(x) отличаются на величину e _i = j(x _i ) -f(x _i ). Отклонения e _i могут быть положительными и отрицательными.

Сумма квадратов отклонений равна:

(23)

Метод построения аппроксимирующей функции j(x) из условия мини-мума Q называется методом наименьших квадратов (МНК).

Наиболее распространен способ выбора j(x) в виде линейной комбина-ции j(x)=с ₀ j ₀ (x) + с ₁ j ₁ (x) + …+ с _m j _m (x), где j ₀ (x) … j _m (x) – базисные функции; m< n. Коэффициенты с ₀, с ₁… с _m определяются из условия минимума Q. Для этого находят частные производные от Q по коэффициентам с _k (0 £ k £ n) и приравнивают их нулю. В результате получают систему линейных алгебраических уравнений. Выбор базисных функций зависит от свойств f(x).

Рассмотрим аппроксимацию экспериментальных данных прямой линией

j(x)=b ₁ x + b ₀.

Сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей прямой:

Она будет минимальна при выполнении условий:

Получаем систему линейных алгебраических уравнений:

Решение этой системы: