Интерполяционная функция Ньютона.

Пусть, как и в случае многочлена Лагранжа, известны n + 1 значений функции y = φ (x) y₀, y₁, …y_n при n + 1 значениях аргумента x₀, x₁, …, x_n. Причем разность между двумя соседними значениями постоянна и равна h. Таким образом, имеем таблицу значений неизвестной функции при соответствующих значениях аргумента.

Составим многочлен P(x))степени n такой, что P(x _i) = y_i. Этот многочлен будет приближенно представлять функцию y = φ (x).

Введем обозначения

Δ y₀ = y₁ – y₀, Δ y₁ = y₂ – y₁, Δ y₂ = y₃ – y₂, ….

Δ ²y₀ = Δ y₁ − Δ y₀ = y₂ – 2y₁ + y₀, Δ ²y₁ = Δ y₂ – Δ y₁= y₃ – 2y₂ + y₁, ….

Δ ³y₀ = Δ ²y₁ – Δ ²y₀ = y₃ – 3 y₂ + 3y₁- y₀, …

Δ ⁿ y₀ = Δ ^{n - 1}y₁ – Δ ^{n - 1}y₀

Напишем многочлен, принимающий значения y₀ и у₁ при х = х₀ и х = х₁ .

P₁(x) = y₀ +

Действительно, P₁(x₀) = y₀, P₁(x₁) = y₀ + Δ y₀ ^h/_h = y₀ + y₁ – y₀ = y₁.

Напишем, далее многочлен, принимающий значения y₀, y₁, y₂ при x₀, x₁, x₂. Непосредственной проверкой доказывается, что это будет многочлен второй степени

Наконец, многочлен n – го порядка, принимающий значения y₀, y₁, …, y_n при x₀, x₁, …, x _n , будет иметь вид

Это и есть интерполяционная формула Ньютона. По существу многочлен Лагранжа и многочлен Ньютона тождественны,. но по-разному записаны. Во многих случаях многочлен Ньютона более удобен, чем многочлен Лагранжа. Особенность этого многочлена состоит в том, что при переходе от многочлена k – й степени к многочлену k + 1 – й степени первые k + 1 членов не изменяются, а только добавляется новый член, который обращается в нуль при предыдущих значениях аргумента.