Интерполирование функции. Общие понятия

На практике часто встречаются функции f (x), заданными для некоторого конечного множества значений аргумента x на отрезке [ a, b ], x ₀ = a, x_m = b таблицами их значений: x = x ₀, x ₁, x ₂, …, x_m, f (x) = y ₀, y ₁, y ₂, …, y_m

Здесь y ₀= f (x ₀), y ₁= f (x ₁), …, y_m = f (x_m).

Такая таблица может быть получена, например, в результате измерения некоторой величины в определенные моменты времени.

В процессе расчетов иногда необходимымы значения f (x) для промежуточных значений аргумента, которых нет в таблице. В этом случае функцию f (x) заменяют приближенной функцией, например, строят функцию φ (x), которая в заданных точках x ₀, x ₁, …, x_m принимает значения y ₀, y ₁, …, y_m, а в остальных точках отрезка [ a, b ] приближенно представляет функцию f (x) с той или иной степенью точности. В расчетах функция φ (x) заменяет функцию f (x).

Задача построения такой функции φ (x) и оценки ее близости к функции f (x) называется задачей интерполирования. Функция φ (x) называется интерполирующей функцией.

Интерполирование применяется и в том случае, когда известно аналитическое представление функции f (x), но вычисление каждого значения является трудно вычисляемым.

Итак, построение интерполирующей функции при заданных значениях y ₀, y ₁, y ₂, …, y_m функции f (x) в точках x ₀, x ₁, x ₂, …, x_m отрезка [ a, b ] означает определение такой функции φ (x), что φ (x)» f (x) при x Î [ a, b ] φ (x_i) = f (x_i) = y_i, при x_i Î [ a, b ], i = 0, 1, …, m

Точки называются узлами интерполяции. А их совокупность – интерполяционной сеткой.

Для построения интерполирующей функции используют определенные системы линейно-независимых функций, находящихся на этом отрезке: φ _i (x), i = 0, 1, 2, …, записывая функцию φ (x) в виде линейной комбинации , где a ₀, a ₁, a ₂, …, a_n – числа.

Определенные на отрезке [ a, b ] функции φ _i (x), i = 0, 1, 2, …, n, называются линейно-зависимыми, если существуют постоянные a ₀, a ₁, a ₂, …, a_n, не равные нулю одновременно и такие, что для всех x Î [ a, b ]. В противном случае функции φ _i (x), i = 0, 1, 2, …, n, называются линейно независимыми.

Определенные на отрезке [ a, b ] функции φ _i (x), i = 0, 1, 2, …, n, являются на отрезке [ a, b ] линейно зависимыми тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других.

Примерами таких систем определенных и линейно-независимых на отрезке [ a, b ] функций являются:

1) последовательность степеней x: 1, x, x ², x ³, …;

2) последовательность тригонометрических функций: 1, sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x, …;

3) последовательность показательных функций: 1, , , …, где { α _i } – некоторая числовая последовательность, и т.д.

В случае построения интерполирующей функции с помощью определенной системы линейно-независимых функций φ _i (x), i = 0, 1, 2, … задача интерполирования заключается в определении констант , удов - их равенствам . (1)

и оценке близости между функциями f и φ.

Таким образом, для определения коэффициентов a_i имеем систему из m +1 уравнений с n +1 неизвестными. Матрица этой системы имеет вид:

Для того, чтобы система линейных уравнений имела решение при любой правой части, достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен m +1. При этом n ≥ m. Решение будет однозначным при n = m.

Будем предполагать, что n = m и определитель системы (1) отличен от нуля. Тогда при любых f (x_j) система (1) будет иметь единственное решение.