Метод сеток (метод конечных разностей) решения краевых задач для уравнений второго порядка в частных производных

Рассмотрение метода конечных разностей начнем со следующей задачи Дирихле для уравнения Лапласа: найти решение u (x, y) уравнения (1)

в некоторой прямоугольной области G = [a, b] x [c, d] плоскости x, y при

, (2)

где функция φ (x, y) непрерывна на границе Г прямоугольника G.

Область G с границей Г покроем прямоугольной сеткой. Для этого в плоскости x, y построим два семейства параллельных прямых

; .

Здесь x ₀= a, y ₀= c – координаты левого нижнего угла прямоугольника G, x_I = b, y_J = d – координаты его правого верхнего угла, h = (x_I - x ₀)/ I и l = (y_J - y ₀)/ J – шаги сетки по направлениям x и y соответственно.

Узлами сетки являются точки пересечения указанных прямых, имеющие координаты

x_i, y_i, , .

При h = l сетка называется квадратной.

Узлы, расположенные внутри области G (т.е. не лежащие на границе G), называются внутренними. Множество таких узлов обозначим w _h. Узлы, находящиеся на границе G, называются граничными. Их совокупность обозначим γ _h. Таким образом, объединение w _h È γ _h представляет собой разностную сетку.

Численное решение задачи (1), (2) методом конечных разностей заключается в отыскании определенной на множестве узлов w _h È γ _h сеточной функции w_ij, являющейся приближением для значений функции u (x, y) в соответствующих узлах, т.е. в отыскании значений w_ij» u_ij = u (x_i, y_j) при (x_i, y_j) Î w _h È γ _h.

Для этого в каждом внутреннем узле сетки производные заменяются (аппроксимируются) разностными отношениями для сеточной функции w_ij. В результате такой замены в дифференциальном уравнении (1), определенном в области G, получается совокупность конечно-разностных уравнений, определенных в узлах сетки w _h. Эта совокупность разностных уравнений совместно с соотношениями, аппроксимирующими граничные условия на множестве узлов γ _h, называется разностной схемой.

Разностная схема представляет собой систему алгебраических уравнений.

Конфигурацию узлов, используемую для построения разностного уравнения в узле ij, называют шаблоном.

Разностная схема строится таким образом, чтобы получаемые в результате решения ее системы алгебраических уравнений (как правило, линейных) значения w_ij были бы приближенными значениями u_ij, такими, что

|| w_ij - u_ij || _h ® 0 при h, l ® 0.

Другими словами, разностная схема строится так, чтобы по мере измельчения сетки численное решение в ее узлах становилось бы все более близким к решению краевой задачи. Имея сеточную функцию w_ij, близкую к u_ij, можно, используя, например, полиномиальную интерполяцию, получить определенную в области G функцию, являющуюся приближением для решения u (x, y) краевой задачи (1), (2).