Метод Рунге оценки погрешности

Говорят, что квадратурная формула имеет порядок точности , если погрешность квадратурной формулы на всем отрезке интегрирования есть величина порядка малости по отношению к шагу.

Пример. 4.2. Погрешность формулы Симпсона (4.22) можно записать в виде

.

Поэтому формула Симпсона имеет четвертый порядок точности, т. е. .

Рассмотренные формулы Ньютона-Котеса можно упорядочить в порядке убывания точности следующим образом:

1) формула Симпсона (четвертый порядок точности ());

2) формула “трех восьмых” (четвертый порядок точности (), но погрешность этой формулы превосходит погрешность формулы Симпсона почти вдвое);

3) формула средних прямоугольников (второй порядок точности ());

4) формула трапеций (второй порядок точности (), но погрешность этой формулы вдвое превосходит погрешность формулы средних прямоугольников);

5) формулы левых и правых (крайних) прямоугольников (первый порядок точности ()).

Чаще всего требуется вычислить значение интеграла с заданной точностью . При этом погрешность квадратурной формулы зависит от числа узлов в квадратурной сумме или, что то же самое, от величины шага .

Если обозначить

,

то для определения точности квадратурной формулы можно воспользоваться априорной оценкой

,

из которой определяется величина шага или число узлов .

Пример. 4.3. Для формулы Симпсона из неравенства

следует, что для достижения точности квадратурной формулы необходимо выполнения неравенства

.

На практике такой оценкой пользоваться сложно из-за трудностей оценки четвертой производной. Поэтому обычно используют апостериорные оценки, например, метод Рунге (принцип двойного счета).

Суть метода Рунге состоит в следующем. Пусть требуется вычислить интеграл

.

Воспользовавшись какой-либо формулой Ньютона-Котеса, получим значение интеграла с шагом . Тогда

.

Погрешность можно представить в виде

,

где − некоторая константа, − порядок точности квадратурной формулы, − главный член погрешности, − величина более высокого порядка малости, чем . Если интеграл вычислить с шагом , то учитывая, что константа изменяется незначительно, можно записать

.

Приравнивая значения интегралов, вычисленных с шагом и , и, отбрасывая малые величины, получим

и

.

Таким образом, для того, чтобы вычислить интеграл с точностью , то есть, чтобы для некоторого шага выполнялось неравенство

,

необходимо, чтобы выполнилось неравенство

.

Пример 4.4. Так как для формулы Симпсона , то строится последовательность значений интегралов, путем деления пополам некоторого начального шага, до тех пор, пока не выполнится неравенство

.

Замечание 4.1. При реализации алгоритмов вычисления интегралов по формулам Ньютона-Котеса нет необходимости каждый раз вычислять заново значения подынтегральной функции в узловых точках, достаточно вычислять значения во вновь появляющихся за счет уменьшения шага узлах.