Квадратурная формула Симпсона (парабол)

В этом случае Три равноотстоящих узла на образуют точки . Квадратурная формула Симпсона имеет вид

. (4.20)

Геометрически формула (4.20) означает, что площадь, ограниченная кривой на , заменяется площадью, ограниченной параболой, построенной на по трем точкам .

Так как средняя точка интервала является узлом квадратурного правила, то формула (4.20) является точной для многочленов третьей степени. Для нахождения погрешности квадратурной формулы Симпсона построим многочлен Эрмита третьей степени , удовлетворяющий условиям:

Остаточный член многочлена Эрмита имеет вид:

.

Тогда остаточный член квадратурного правила Симпсона можно вычислить следующим образом:

.

Так как множитель не меняет знак на и, в предположении о непрерывности на , существует такая точка такая, что

Разделим отрезок на четное число частей длиной и к сдвоенному отрезку применим формулу (4.20). Тогда

.

Просуммировав результаты по всем сдвоенным отрезкам на , получим обобщенную формулу Симпсона

, (4.21)

погрешность которой можно представить в виде

,

где .

Ввиду предположения о непрерывности на , существует такая точка , что

.

Тогда выражение для погрешности квадратурной формулы (4.21) примет вид

(4.22)

4.2.4. Квадратурная формула “трех восьмых” (формула Ньютона)

Квадратурные коэффициенты формулы “трех восьмых” равны

.

Четыре равноотстоящих узла на образуют точки . В этом случае квадратурная формула “трех восьмых” и ее погрешность имеют вид

Геометрически эта формула означает, что площадь, ограниченная кривой на , заменяется площадью, ограниченной многочленом, который построен на по четырем точкам .

Разделив отрезок на число частей , кратное трем, применив к строенным отрезкам формулу “трех восьмых” и просуммировав результаты, получим обобщенную формулу “трех восьмых”

(4.23)

Погрешность квадратурной формулы “трех восьмых” определяется выражением

(4.24)

Пример 4.1. При вычислении интеграла

по обобщенным формулам Ньютона-Котеса для различных получаются следующие результаты (таблица 4.1)

Таблица 4.1.

	Квадратурная формула
	левых прямоугольников	5, 9006533	6, 7233212	6, 997838
	правых прямоугольников	8, 1195699	7, 2780504	7, 0022759
	средних прямоугольников	6, 9950321	6, 9997426	7, 0000569
	трапеций	7, 1548715	7, 0791071	7, 0008164
	Симпсона	7, 0000437	7, 0000571	7, 0000569
	«трех восьмых»	6, 9999482	7, 0000573	7, 0000569

Полученные результаты показывают, что, при вычислении интеграла с заданной точностью , для каждой квадратурной формулы необходимо задавать свое значение .