Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методы Рунге-Кутта.
Методы Рунге-Кутта решения дифференциальных уравнений, как и метод Эйлера, принадлежат к классу одношаговых методов. Они являются своеобразным обобщением этого класса и обладают рядом достоинств: 1) обладают достаточно высокой точностью; 2) допускают использование переменного шага, что даёт возможность уменьшить его там, где значения функции быстро изменяются, и увеличить его в противном случае; 3) являются легко применимыми, так как для начала расчёта достаточно выбрать сетку хn и задать значение y0=f(x0). Наиболее часто применяют метод Рунге-Кутта четвертого порядка Рассмотрим разложение функции (решения ДУ) в окрестности произвольной точки xn , где hn=xn+1-xn. Ограничимся в разложении функции 3 первыми слагаемыми ряда, т.е. . (*) Тогда остаточный член в виде формы Тейлора представится в виде или погрешность, при условии, что 3 производная ограничена на (хn; xn+1), имеет порядок О(h3). Вторую производную в формуле (*) можно найти непосредственно из ДУ y¢ =f(x, y), как производную от функции, заданной неявно. Получим . Подставив данное выражение в(*), получим Однако такой подход не всегда приемлем, т.к. связан с отысканием частных производных функции. Чтобы избежать этого вторую производную можно представить в виде , где a, b, q – некоторые параметры. Тогда . Преобразуем данное выражение (**). Заменим приращение функции 2 переменных её дифференциалом на В нашем случае . Тогда . и общая формула примет вид После преобразований получим Обозначим . Получим Сравнивая коэффициенты при степенях h точного решения (по формуле Тейлора) и приближённого, получим систему уравнений для определения параметров a, b, J, d . Для определения 4 неизвестных имеем систему 3 уравнений. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Выразим через d все остальные параметры. Получим . Подставляя в (**) эти параметры, получим Таким образом мы получили однопараметрическое семейство схем Рунге Кутта 4 порядка точности. Не трудно заметить, что подставляя вместо , получается формула усовершенствованного метода Эйлера. Однако в таком виде метод Рунге- Кутта в связи с неопределённостью коэффициента d использовать не будем. Приведем расчетные формулы метода для решения задач:
Для оценки значения производной в этом методе используется четыре вспомогательных шага на которых предварительно вычисляются величины
В данном методе ошибка на шаге вычислений имеет порядок h4. Поскольку большинство систем ДУ и ДУ высших порядков могут быть сведены ДУ первого порядка рассмотренные методы можно применять для их решения.
Погрешность схем Рунге –Кутта. Правило Рунге.
Одним из наиболее простых, широко применяемых и достаточно эффективных методов оценки погрешности и уточнения полученных результатов в приближённых вычислениях с использованием сеток является правило Рунге. Пусть имеется приближённая формула для вычисления величины y(x) по значениям на равномерной сетке hn и остаточный член этой формулы имеет вид:
Выполним теперь расчёт по той же приближённой формуле для той же точки х, но используя равномерную сетку с другим шагом rh r< 1. Тогда полученное значение связано с точным значением соотношением Заметим, что = Тогда имея два расчёта на разных сетках, нетрудно оценить величину погрешности . Первое из слагаемых есть главный член погрешности. Таким образом, расчёт по второй сетке позволяет оценить погрешность расчёта по первой с точностью до членов более высокого порядка. При этом достаточная точность будет достигнута, если величина R не превышает заданной погрешности во всех совпадающих узлах. Чаще всего в качестве шагов приближённого вычисления решения уравнения выбирают h и h/2. Грубо шаг вычислений можно оценить исходя из неравенства .
|