Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод Эйлера. Метод Эйлера обеспечивает невысокую точность решения дифференциальных уравнений






Метод Эйлера обеспечивает невысокую точность решения дифференциальных уравнений. Но он весьма прост по содержанию и по реализации в электронных таблицах и математических пакетах. Кроме того, метод является основой для других, более точных методов.

Рассмотрим задачу Коши

y¢ =f(x, y); y(x0)=y0.

Для перехода от уже известной точки (х0; у0) к точке (х1; у1), х10+h, в методе Эйлера применяется следующий алгоритм.

Разложим искомую функцию у(х) в ряд в достаточно малой h окрестности точки х0:

(4.6)

Поскольку h мало, элементами ряда, содержащими h2, h3, ….. можно пренебречь. Тогда из равенства получаем

у(х0+h) = y(x0)+h× y¢ (x0) (4.7)

Т.к. y¢ =f(x, y), то равенство (4.7) можем переписать

у(х0+h) = y(x0)+h× f(x0, y0)

Мы получаем следующую точку (x1 ; y1) функции у(х).Таким образом, любая точка интегральной кривой у(х) выражается через предыдущую по формуле

уi+1 = yi + h× f(xi, yi), i=0, 1, 2…. (4.8)

Такой метод решения ОДУ называется методом Эйлера. Геометрически метод Эйлера означает, что на каждом шаге мы аппроксимируем решение отрезком касательной, проведённой к графику решения в начале интервала. Точность метода невелика и имеет порядок h. Говорят, что метод Эйлера – метод первого порядка, т.е. его точность растёт линейно с уменьшением шага h.

Пример. Рассмотрим один из вариантов оформления таблицы при решении задачи Коши методом Эйлера для уравнения

Это уравнение имеет аналитическое решение y = 1/(2 – sin x).

Поэтому у нас будет возможность оценить погрешность метода Эйлера, сравнивая полученное решение с точным.

Один из вариантов такого оформления решения задачи

a) в Excel

б) в Mathcad

Если построить графическое решение данного ДУ и сравнить его с точным, то можно заметить, что уже при небольших значениях i ошибка уi существенна. Поэтому метод Эйлера на практике применяют очень редко.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.