Численное интегрирование. Известно, что определённый интеграл можно вычислить по формуле Ньютона –Лейбница, выражая через неопределённый интеграл

Известно, что определённый интеграл можно вычислить по формуле Ньютона –Лейбница, выражая через неопределённый интеграл. Однако класс интегрируемых функций довольно узкий.

Например – нельзя отнести к классу интегрируемых. Поэтому при вычислении определённых интегралов важную роль играют численные, приближённые методы интегрирования.

Кроме того, часто приходится интегрировать функции заданные таблично. В данном случае, как правило, используется интерполяция подынтегральной функции, а лишь затем осуществляется аналитическое интегрирование. Такой способ численного интегрирования даёт достаточно точные результаты при условии, что исходная функция заведомо гладкая.

Однако подынтегральная функция на промежутке интегрирования может иметь некоторые особенности. Так, например, могут существовать точки, в которых функция имеет резко изменяющиеся или разрывные производные внутри промежутка интегрирования. В этом случае мы должны заранее освободиться от таких особенностей. Делается это путём разложения подынтегральной функции на 2 сомножителя, т.е. представление интеграла в виде

где [a; b] – любой конечный или бесконечный отрезок числовой оси; р(х) – весовая функция, учитывающая особенности поведения подынтегральной функции; f(x) – произвольная гладкая функция.

Данная формула называется квадратурной формулой.