Приближение функций

Метод Лагранжа заключается в построении полинома n -порядка при n+1 узле интерполяциина отрезке [ x₀, x_n ] по формуле: L(x)=y₀ Q₀(x)+…+ y_n Q_n(x),

где

Qj(x_i)=0 при i¹ j и Qj(x_i)=1 при i=j

Метод Ньютона заключается в построении полинома n -порядка при n+1 узле интерполяциина отрезке [ x₀, x_n ], используя конечные разности.

Конечной разностью первого порядка называется разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции: Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка и т.д.

Общая формула для вычисления конечной разности k-ого порядка в i-ой точке:

Для интерполяции в начале таблицы и экстраполяции назад удобно использовать первую интерполяционную формулу Ньютона:

,
где

Для интерполяции в конце таблицы и экстраполяции вперед рекомендуется использовать вторую интерполяционную формулу Ньютона:

,
где

Погрешность интерполяции можно оценить по формуле

где .

ЗАДАЧА 4.1.

Вычислить с помощью формулы Лагранжа для трех узлов интерполяции. Определить погрешность вычисления.

РЕШЕНИЕ

В качестве узлов интерполяции выберем точки, близкие к заданному значению аргумента, в которых значения функции можно вычислить точно: х₀= 100; х₁= 121; х₂= 144

При трех узлах интерполяции имеем следующую формулу Лагранжа:

При х =117

ЗАДАЧА 4.2.

Функция задана таблично:

Оценить погрешность метода Ньютона по последней конечной разности:

1) у(2, 05) 2) y(2, 23) 3) y(2, 38)

РЕШЕНИЕ

Составим таблицу конечных разностей:

h=0, 1

1) y (2, 05)

Заданное значение аргумента находится в начале таблицы, поэтому используем первую интерполяционную формулу Ньютона при x₀=2, 0

q=(2, 05-2, 0)/0, 1=0, 5

Последней конечной разностью в первой строке является ∆ ⁴ y, т.е. n+1=4

Из таблицы находим, что М₄=0, 41. Тогда

2) y (2, 23)

Используем первую интерполяционную формулу Ньютона при x₀=2, 2

Последней конечной разностью во второй строке (движение выделено подчеркиванием) является ∆ ² y, т.е. n+1=2

Из таблицы находим, что М₃=0, 25. Тогда

3) y (2, 38)

Заданное значение аргумента находится в конце таблицы, поэтому используем вторую интерполяционную формулу при

Последней конечной разностью (движение выделено цветом) является ∆ ⁴ y, т.е. n+1=4

Из таблицы находим, что М₄=0, 41. Тогда

ЗАДАЧА 4.3.

Найти значение функции, определенной в задании 4.2, используя полином Ньютона 2-ого порядка в точках 1)2, 05 2) 2, 23 3) 2, 38.

1) у(2, 05)=1, 1+(-0, 2) · 0, 5+0, 15 · 0, 5 · (0, 5–1)/2=0, 98125≈ 0, 98

2) ≈ 0, 81

3) ≈ 0, 76

Задание 4.1. Вычислить с помощью формулы Лагранжа значение у для трех узлов интерполяции. Определить погрешность вычисления.

1) 2) y=38³