Двійкова система числення

Практичне заняття №1

Тема: Представлення інформації в ЕОМ

Мета заняття: навчитись переводити числа в системи числення, які використовує ЕОМ, підраховувати обсяг інформації та вміти переводити значення кількості інформації з одних одиниць вимірювання в інші.

Питання, що розглядаються:

1. Позиційні системи числення.

2. Перетворення чисел з десяткової системи числення у двійкову, вісімкову та шістнадцяткову.

3. Зворотне перетворення чисел у десяткову систему числення.

4. Вимірювання інформації.

Система числення – це спосіб представлення чисел цифровими знаками та правила дій над числами.

Системи числення можна розділити на:

­ непозиційні системи числення;

­ позиційні системи числення.

В непозиційній системі числення значення (величина) символу (цифри) не залежить від розташування в числі.

Найвідомішою непозиційною системою числення є римська. В якій використовується сім знаків: I -1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Величина числа визначається як сума або різниця цифр в числі (наприклад, II – два, III – три, XXX – тридцять, CC – двісті). Якщо більша цифра стоїть перед меншою цифрою, то вони додаються (наприклад, VII – сім), якщо навпаки – віднімаються (наприклад, IX – дев’ять).

Недоліки непозиційної системи числення: відсутність нуля, складність виконання арифметичних операцій. Хоча римськими числами часто користуються при нумерації розділів у книгах, віків в історії та інше.

Позиційна система числення має обмежену кількість символів і значення кожного символу чітко залежить від її позиції у числі. Кількість таких символів q, називають основою позиційної системи числення. Головна перевага позиційної системи числення – це зручність виконання арифметичних операцій.

У системах числення з основою меншою 10 використовують десяткові цифри, а для основи більшої 10 добавляють букви латинського алфавіту.

У позиційних системах числення значення кожного символу (цифри чи букви) визначається її зображенням і позицією у числі.

Окремі позиції в записі числа. називають розрядами, а номер позиції - номером розряду. Число розрядів у записі числа, називається його розрядністю і зберігається з довжиною числа.

Представимо розгорнуту форму запису числа:

A_q = a_n-1∙ q^n-1 + … + a₁∙ q¹ + a₀∙ q⁰ + a_-1∙ q^n-1 + … + a_-m∙ q^-m,

де q – основа системи числення;

A_q – число в системі числення з основою q;

a – цифри багаторозрядного числа A_q;

n (m) – кількість цілих (дробових) розрядів числа A_q.

Приклад:

порядковий номер

2 1 0 -1 -2

2 3 9, 4 5₁₀ = 2∙ 10² + 3∙ 10¹ + 9∙ 10⁰ + 4∙ 10^-1 + 5∙ 10^-2

a₂ a₁ a₀, a_-1 a_-2

Двійкова система числення

Офіційне «народження» двійкової системи числення (в її алфавіті два символи: 0 і 1) пов’язують з ім’ям Готфріда Вільгельма Лейбніца. В 1703 р. він опублікував статтю, в якій були розглянуті всі правила виконання арифметичних дій над двійковими числами.

Переваги:

1. Для її реалізації потрібні технічні пристрої з двома стійкими станами:

­ є струм – немає струму;

­ намагнічено – не намагнічено.

2. Представлення інформації за допомогою лише двох станів є надійним та завадостійким.

3. Можливо застосування апарату бульової алгебри для виконання логічних перетворень інформації.

4. Двійкова арифметика набагато простіша за десяткову.

Недолік: швидкий ріст кількості розрядів, необхідних для запису чисел.

Переведення чисел (8) → (2), (16) → (2)

Переведення вісімкових і шістнадцяткових чисел у двійкову систему: кожну цифру замінити еквівалентною їй двійковою тріадою (трійкою цифр) або тетрадою (четвіркою цифр).

Приклади:

5371₈ = 101 011 111 001₂;

5 3 7 1

1A3F₁₆ = 1 1010 0011 1111₂

1 A 3 F

Завдання для самостійного виконання

Переведіть:

1. 3754₈ → X₂

2. 2ED₁₆ → X₂

Переведення чисел (2) → (8), (2) → (16)

Щоб перевести число з двійкової системи у вісімкову або шістнадцяткову, його потрібно розбити вліво і вправо від коми на тріади (для вісімкової) або тетради (для шістнадцяткової) та кожну таку групу замінити відповідною вісімковою (шістнадцятковою) цифрою.

Приклади:

1101010000111₂ = 1 5 2 0 7₈;

1 101 010 000 111

110111000001101₂ = 6 E 0 D₁₆

110 1110 0000 1101

Завдання для самостійного виконання

Переведіть:

1. 1011111010101100₂ → X₈

2. 1011010100000110₂ → X₁₆

Переведення чисел (q) → (10)

Запис числа в розгорнутій формі та розрахунок отриманого виразу в десятковій системі.

Приклади:

1. 110110₂ = 1∙ 2⁵ + 1∙ 2⁴ + 0∙ 2³ + 1∙ 2² + 1∙ 2¹ + 0∙ 2⁰ = 54₁₀;

2. 237₈ = 2∙ 8² + 3∙ 8¹ + 7∙ 8⁰ = 128 + 24 + 7 = 159₁₀;

3. 3FA₁₆ = 3∙ 16² + 15∙ 16¹ + 10∙ 16⁰ = 768 + 240 + 10 = 1018₁₀.

Завдання для самостійного виконання

Переведіть:

1.1100011010₂ → X₁₀

2.162₈ → X₁₀

3.E23₁₆ → X₁₀

Переведення чисел (10) → (q)

Для переведення цілої частини числа виконують послідовне цілочисельне ділення десяткового числа на основу системи q, доки остання частка не стане меншою за дільник. Потім залишки від ділення записуються в зворотному порядку їх отримання.

Для переведення дробової частини числа необхідно виконати послідовний ряд множення дробової частини початкового числа X(p) на нову основу, відокремлюючи отримані цілу частину, послідовність яких відповідає значенню цифр дробової частини результативного числа. Множити треба до тих пір, доки не отримаємо в дробовій частині всіх нулей або не досягнемо задану точність (якщо число не переводиться точно).

Приклад: перевести десяткове число75, 364₁₀ у двійкову систему числення.

Ціла частина: Дробова частина:

75: 2=37+1 0, 364*2=0, 728

37: 2=18+1 0, 728*2=1, 456

18: 2=9+0 0, 456*2=0, 912

9: 2=4+1 0, 912*2=1, 824

4: 2=2+0

2: 2=1+0

1: 2=0+1

Відповідь: 75, 364₁₀=1001011, 0101₂

Завдання для самостійного виконання

Переведіть:

1. 141₁₀ → X₂

2. 141₁₀ → X₈

3. 141₁₀ → X₁₆

4. 0, 325₁₀ → X₂