Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Поверхности второго порядка
|
|
Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в декартовой СК определяются алгебраическими уравнениями второй степени:
F(x, y, z)=Ax² +Bxy² +Cz² +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0, (1.20) (причем хотя бы один из первых шести коэффициентов (от A до F), должен быть не нулевым).
Это уравнение может определять сферу, эллипсоид, однополостный или двуполостный гиперболоид, эллиптический или гиперболический параболоид, цилиндрическую или коническую поверхность второго порядка (невырожденные поверхности второго порядка). Оно может так же определять совокупность двух плоскостей, точку, прямую или не иметь геометрического смысла.
Виды алгебраических поверхностей второго порядка представлены в таблице 1.
Пример.1.12 Уравнению F(x, у)=(х-х0)² +(у-у0)² =0 соответствует прямая 
в трехмерном пространстве, уравнение F(x, у)=х² -у² =0 задает пару плоскостей: х² -у² =0 < => x=y или х=-у. Уравнение F(x, у)=х² +у² +1=0 не имеет решений, нет и геометрического образа.
.
Сфера радиуса R
x² +y² +z² =R²
| Эллипсоид
(x² /a²)+(y² /b²)+(z² /c²)=1
| Эллиптический цилиндр
(x² /a²)+(y² /b²)=1
|
Однополосный гиперболоид
(x² /a²)+(y² /b²)-(z² /c²)=1
| Двуполостный гиперболоид
(x² /a²)+(y² /b²)-(z² /c²)=-1
| Гиперболический цилиндр
(x² /a²)-(y² /b²)=1
|
Эллиптический параболоид
z=(x² /p)+(y² /q) (p, q> 0)
| Гиперболический параболоид
z=(x² /p)-(y² /q) (p, q> 0)
| Параболический цилиндр
2py=x²
|
Конус
(x² /a²)+(y² /b²)-(z² /c²)=0
|
Замечание. ППП Mathcad предоставляет большие возможности построения графиков поверхностей в декартовой и цилиндрической СК. Эти возможности реализованы в Mathcad в пункте меню Insert/Graph 3D Plot и использованы в приложении 2.
При D=0, Е=0, F=0 уравнение 1.20 принимает вид:
Ax² +By² +Cz² + Gx+Hy+Kz+L=0. (1.21)
Это уравнение легко упрощается путем выделения полных квадратов по х, у и z. Выбор нового начала координат О’(х0, у0, z0) и параллельный перенос осей координат в точку O' позволяют сразу установить геометрический смысл уравнения. Покажем это на примере.
Пример 1.13. Привести к каноническому виду уравнение
36x ² +9у ² +4z ² -72x+18y-8z+13=0
Решение. Сгруппируем члены с одинаковыми координатами:
36(x² +2x)+9(y² +2y)+4(z² -2z)=–13.
Дополним до полных квадратов выражение в скобках:
36(x² -2x+1)+9(y² +2y+1)+4(z² -2z)=-13+36+9+4 или
36(x-1)² +9(y+1)² +4(z-1)² =36
Перенесем начало координат в точку О'(1, -1, 1). Формулы преобразования координат имеют вид: х=х'+1, у=у'-1, z=z'+1.
Получим уравнение поверхности:
36(x')² +9(y')² +4(z')² =36 или (х')² +(у')² /4+(z')² /9=1
Это уравнение определяет эллипсоид с полуосями 1, 2, 3 и центром в точке О ' (1, -1, 1).
Замечание. Иногда для приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду достаточно переобозначить переменные. В более сложном случае требуется поворот осей координат. Общая теория приведения уравнения второго порядка к каноническому виду здесь не рассматривается.
Из других поверхностей в пространстве особо выделим два типа поверхностей: цилиндрическая и поверхности вращения.
Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, пересекающей данную линию L и параллельный данной прямой l.
Линия L называется направляющей цилиндрической поверхности, а прямая l – ее образующей.
Уравнение F(x, у)=0 задает на плоскости Оху некоторую линию L, а в пространстве – цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Оz.
Пример 1.14. Исследовать методом сечений и построить поверхность z=4-x ².
Решение. В сечении поверхности плоскостью Охz (y=0) или любой плоскостью y=h имеем параболу z=2-x ². Уравнение не содержит у (т. е. у может принимать любое значение), поэтому поверхность является параболическим цилиндром, образующая которого параллельна оси Оу.
Пусть в некоторой плоскости π задана линия L и прямая l.
Определение. Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением линии L вокруг прямой l (оси вращения).
Наиболее простой вид уравнения поверхности вращения получим, если ось Oz совпадает с осью вращения l, а начало координат О лежит на l.
Пусть плоскость Оyz совпадает с плоскостью π, а линия L 
π задана уравнением L: F(y, z)=0.
Пусть точка М0(x0, у0, z0) лежит на линии L. Она удалена от оси Оz на расстояние d=|y0|. При вращении этой точки получим те и только те точки М(х, у, z), для которых d= 
, т. е. F(
, z)=0. Значит, уравнение поверхности вращения получается при замене y на 
в уравнении линии L.
Пример 1.15. Составить уравнение поверхностей, образованных вращением гиперболы 
а) вокруг оси Oz б) вокруг оси Оy. Определить вид поверхностей и построить их.
Решение. а) Заменяем в уравнении у ² на х ² +у ²: ( х ² +у ²)/ 4-z ² /9=1. Это однополосный гиперболоид (см. табл. 1);
б) заменяем в уравнении z ² на y ² +z ² получаем у2/4-(х2+z2)/9=1. Это двуполостный гиперболоид (см. табл. 1). При построении графиков поверхностей надо учесть, что полуоси гиперболы равны 2 и 3, соответственно.
Вид однополостного и двуполостного гиперболоидов представлен на рис 1.27, а и 1.27, б.
Рис. 1.27. Примеры гиперболоидов:
а – однополостного; б – двуполостного
|
|