Примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения

Основные методы составления уравнений прямых наглядно можно продемонстрировать на примере построения уравнений линейных элементов треугольника.

Пример15. Треугольник задан координатами своих вершин:
, и (Рис. 9)

Найти:

1) медиану ;

2) среднюю линию ;

3) высоту ;

4) биссектрису ;

5) центр описанной окружности.

Решение.

1) Найдем медиану . Вычислим координаты точки - середины отрезка .

. Уравнение найдем по двум точкам:

.

2) Найдем среднюю линию .

Способ 1. Вычислим координаты середины стороны - точки . . Уравнение найдем по двум точкам:

.

Способ 2. Найдем по точке и направляющему вектору, в качестве которого можно взять вектор .

Вычислим: .

Тогда:

Очевидно, что для получилось то же уравнение, что и при первом способе.

3) Уравнение высоты найдем по точке и перпендикулярному вектору, в качестве которого можно взять вектор .

.

4) Биссектрису можно найти разными способами (Рис. 10). Но, если числовые данные в задаче специально не подобраны, то все эти способы приводят к громоздким вычислениям. Наиболее легким для запоминания является способ, основанный на следующем факте:

вектор суммы векторов одинаковой длины идет в точности по биссектрисе угла, образованного этими векторами (свойство ромба).

Поскольку требуется найти биссектрису угла , то возьмем два вектора, исходящих именно из этой вершины: и . Вычислим их длины:

; .

Очевидно, что их длины не равны. А теперь от векторов и перейдем к их ортам и , векторам с тем же направлением, но одинаковой единичной длины.

; .

Построим новый вектор

.

Этот вектор уже можно использовать в качестве направляющего для биссектрисы, но работать с ним нелегко. Вместо него можно взять другой вектор, попроще.

Корни, конечно, никуда не исчезли, но, по крайней мере, не стало дробей.

По формуле (9) имеем: Þ

Þ

Если Вам не нравится отрицательный коэффициент при , умножьте все уравнение на (-1):

Þ

5) Найдем центр окружности, описанной вокруг треугольника .

Он, как известно, находится в точке пересечения любых двух серединных перпендикуляров треугольника (Рис.11)..

Поскольку ранее были найдены координаты середин сторон и , найдем уравнения серединных перпендикуляров именно к этим сторонам: и .

Для имеем:

точка перпендикулярен

Для имеем:

точка перпендикулярен

Найдем точку пересечения полученных серединных перпендикуляров:

и

Воспользуемся формулами Крамера:

; ; .

;