Теорема умножения вероятн зависимых событий

Зависим соб -если появл одного из них изменяет вероятн появл другого. Теорема- вероятн.произвед двух зависимых событ A и B равна произвед вероятн одного из них на условн вероятн другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. P(AB)=P(A)*P(B). Док-во: n-всего исходов, M-благоприятн для A, LизM-благопр для B, L- благопр одновремен для A и B.P(A)=M/N, P(AB)=L/N, Pa(B)=L/M. P(AB)=L/N=ML/NM=P(A)*Pa(B).

Теорема умножения вероятн незав. событ

Независ.соб -когда появление одного из них не изменяет вероятности появл другого. Теорема: вероятность произвед двух независимых событ Aи B равна произвед их вероятност P(AB)=P(A)*P(B) Док-во: т.к события независимы, то выполн равенство Pa(B)=B=> P(AB)=P(A)*P(B).

P(A1..An)=P(A1)*…P(An).

Вероятность появл хотя бы одного события

Вероятн появл хотя бы одного из событий A1, A2..An независимых в совокупности, равна разности между еденицей и произвед вероятн противопол событий _____.P(A)=1-q1q2..qn. Док-во: A-событие, состоящее в появл хотя бы одного из событий A1, A2..An.Событие A и A1, A2, An противоп.=> сумма их вероятност =1.P(A) +P(A1A2...An)=1. P(A)=1-P(A1A2..An)=1-P(A1)..*P(An). P(A)=1-q1q2..qn. Если вероятность появл событий A1A2An одинаковая, то вероятность появл хотябы одного события: P=1-q^n, если q1=q2=qn.

Условная вероятн.- вероятн некотор события A, при усл наступления некоторого другого B.-если при вычислени вероятн событ не имеют никаких др ограничений, кроме комплекса усл, то такую вероятн назыв безусловной.-если же налагаются и др доп усл то такая вероятн назыв условной.-вычислим вер событ A при усл, что событ B произошло: Pb(A)=P(AB)/P(A)=P(A)*Pb(A).

Формула полной вер-ти

Пусть соб A может наступить при усл появл одного из несовместн соб.B1..Bn образ полную группу соб.Пусть известна вероятн этих соб P(B1)…P(Bn)Так же известны усл вероятность появл соб A: Pb1(A)..Pbn(A).Вероятность соб A кот может наступить только при усл появл одного из соб B=сумме произвед вероятн каждого из этих соб на соотв усл вероятн: P(A)=P(B1)*Pb1(A)+P(B2)*Pb2(A)+…P(Bn)*Pbn(A) Док-во: По усл А наступает если наступит одно из несовм соб или появл А означает что наступит одно безразл какое несовм соб____

Формула Байсе(вероят гипотез)

Допустим, что произвед испытание, в результ котор появилось соб А.Что измен в связи с тем, что соб А уже наступило, т.е.найдем вероятн гипотез или условн вероятностей.Pa(H1), Pa(H2)..Pa(Hn).Т.к. появл событ АHi и нахождение вероятн этого событ по теореме о завис событиях будет равна P(AHi)=P(A)*Pa(Hi), а это значит, что Pa(Hi)=P(A*Hi)/P(A), а т.к. наступлен соб AHi=HiA, то польз теорем сложен несовм соб получим P(AHi)=P(HiA), то получим(по ф-ле о зависим событ)P(Hi)*Phi(A).Подставим данную ф-лу в числитель: