Производная по направлению. Градиент.

Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x, y, z). Пусть она определена в некоторой окрестности точки Мо(хо, yo, zo). Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки Мо. Каждый такой луч заадется единственным вектором (соsa, cosb, cosg). Если l- длина этого отрезка, то его координаты (lcosa, lcosb, lcosg) C другой стороны: (x-xo, y-yo, z-zo)

Т.о. получили один и тот же отрезок:

Приравняем

u=f(Xo+lcosa, Yo+lcosb, Zo+lcosg) (1)

Т.о. u- сложная функция.

Производную указанной сложной функции по переменной l, взятую в точке l=0 нназывают производной функции u=f(x, y, z) в точке Мо по направлению, оопределяемому единичным вектором l. Обозначение:

(2)

Градиентом функции u=f(x, y, z) в данной точке Мо(xo, yo, zo) называется вектор, координаты которого имеют вид gradu(Mo)=

Если: u=f(x1, x2, …, xn) Mo(

[Т] Вектор градиента функции y=f(x, y, z) в точке Мо характеризует направление и величину максимального роста функции в точке Мо, т.е. производные функции u=f(x, y, z) в точке Мо по направлению, определенному вектором градиента этой функции в точке Мо имеет максимальное значение по сравнению с производной по любому другому направлению и это значение равно длине вектора градиента.

Док-во: Из ф-л (1) и(2) → (gradu, e) =∂ u/∂ e

∂ u/∂ e=(gradu, e) = |gradu|*|e|*cosφ

Cosφ =1 φ =0

Max значение достигается ↔ вектор е и вектор grad направлены одинаково. Тогда |∂ u/∂ e=gradu|

Следствие. Вектор градиента не зависит от выбора координат.

Геометрический смысл градиента:

Линии уровня для функции двух переменных u=f(x, y) называется линия на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Если В каждой точке линии уровня M(xо, yо) построить касательную, то вектор-градиент в точке Мо будет перпендикулярен этой касательной.

Поверхность уровня- фунция u=f(x, y, z) в точке Мо (xo, yo, zo) называется поверхность на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Свойства: если в каждой точке Mo(xo, yo, zo) провести касательную поверхность, то вектор градиент будет ортогонален этой поверхности.