Интегрирование рациональных функций

Важным классом функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют класс рациональных функций, т.е. функций кот. Моно представить в виде Р(х)/Q(х), где Р, Q-многочлены в некоторой степени х

Р(х)=а_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀-общий вид

Р(х)=ах²+bx+c=a₂x²+a₁x+a₀

P(х)=ax+c= a₁x+a₀

Если степень многочлена в числители равна и больше степени многочлена в знаменателе, то выполнить деление можно, выделив верхнюю часть P(x)/Q(x)=V(x)+R(x)/Q(x) Степень R(x)< Q(x), a V(x)-многочлен некоторой степени.

[Т1] Каждый многочлен может быть представлен в виде Q(x)=A(x-a₁)^a₁ (x-a₂)^a_2….. (x-a_k)^a_k Или Q(x)=(x²+p₁x+q₁)^b1 (x²+p₂x+q₂)^b2……… (x²+p_lx+q_l)^bl (*)

А-коэффициент при старшей степени х

[Т2-о разложении рац функции на элементар множители] Если рациональная функция имеет степень многочлена числителя n меньше, чем степень многочлена знаменателя m и многочлен Q(x) имеет вид (*), то эту функцию можно единственным образом представить в виде:

= … … … …+ … (**)