Которую называют формулой полной вероятности

Доказательство. Воспользуемся тем, что H_i (гипотезы) попарно несовместны (следовательно, несовместны и H_i∙ А), и что их сумма есть достоверное событие

(1.35)

Эта схема имеет место всегда, когда можно говорить о разбиении всего пространства событий на несколько, вообще говоря, разнородных областей, в каждой из которых имеется некоторая совокупность элементарных событий АН_i, благоприятствующих появлению события А (рис. 1.11.2, где область, соответствующая событию А, заштрихована).

В экономике это, например, разбиение страны или района на регионы разного размера и разных условий, когда известна доля каждого района р(H_i) и вероятность (доля) какого-то параметра в каждом регионе (например, процент безработных –в каждом регионе он свой) – р(А| H_i).

На складе может лежать продукция с трех разных заводов, поставляющих разное количество продукции с разной долей брака и т.д.

Пример 1.61. Литье в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна, взятая наугад, болванка имеет дефект.

Решение. Вероятность того, что взятая болванка поступила из 1-го цеха, равна Р(Н₁) = 0, 7; вероятность того, что взятая болванка поступила из 2-го цеха, равна р(Н₂) = 0, 3. Вероятность того, что болванка из 1-го цеха бракованная, равна р(А|Н₁) = 0, 1; вероятность того, что болванка из 2-го цеха бракованная, равна р(А|Н₂) = 0, 2.

Тогда искомая вероятность того, что взятая наугад деталь бракованная, равна

Р(А) = 0, 7∙ 0, 1 + 0, 3∙ 0, 2 = 0, 13 (в среднем 13% болванок с цехе дефектны).

По этой же схеме решаются задачи и в общем случае.

Пример 1.62. Вернемся к примеру 1.49 (раздел 1.10.4) с урной, в которой лежит N шаров, из которых n белых. Достаем из нее (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что второй шар белый?

Решение. Обозначим событие Н₁ = {первый шар белый}; вероятность этого события Р(Н₁) = n/N. Событие Н₂ = {первый шар черный}; вероятность события Р(Н₂) = (N-n)/N; событие A = {второй шар белый}.

Условные вероятности события А равны Р(А|Н₁) = (n-1)/(N-1); Р(А|Н₂) = n/(N-1).

Искомая вероятность

Эта модель может быть применена при решении такой задачи: из N билетов студент выучил только n. Что ему выгоднее – тянуть билет самым первым или вторым? Оказывается, в любом случае он с вероятностью n/N вытянет хороший билет и с вероятностью (N-n)/N плохой.

Домашнее задание: ДР-10 (Письменный, №1.29,, стр. 45)