Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Интегральная теорема Лапласа






Пусть производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0< р< 1). Как вычислить вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз, т.е. Pn(k1, k2) (для кратности говорят «от k1 до k2 раз)? На этот вопрос дает ответ интегральная теорема Лапласа.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1, k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу

(1.40)

где и

При решении задач пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла Ф(х) = (интегральная функция Лапласа) приводится в приложениях к учебникам по теории вероятностей (например, Гмурман, приложение 2, с.462). В таблицах приводятся значения Ф(х) для положительных значений х и для х=0; для х< 0 пользуются той же таблицей [функция Ф(х) нечетна, т.е. Ф(-х)=-Ф(х)]. В таблицах приводятся значения интеграла лишь до х=5, так как для х > 5 можно принять Ф(х) = 0, 5. Значение искомой вероятности равно

Пример 1.68. Вероятность того, что деталь не прошла проверку качества, равна р=0, 2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непригодных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию, р=0, 2; q=0, 8; n=400; k1=70; k2=100. Воспользуемся интегральной формулой Лапласа:

Р400(70, 100) ≈ Ф(х2) – Ф(х1).

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Таким образом, имеем Р400(70, 100)=Ф(2, 5)-Ф(-1, 25)=Ф(2, 5)+Ф(1, 25).

По таблице (приложение2, Гмурман) находим: Ф(2, 5) = 0, 4938; Ф(1, 25) = 0, 3944.

Искомая вероятность Р400(70, 100)= 0, 4938+0, 3944 = 0, 8882.

Домашнее задание: ДР-15 (№3.28, Зарубин, стр. 117)






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.