Ряды Маклорена (Тейлора)

Предположим, непрерывная и бесчисленное множество раз дифференцируемая в окрестности точки x=x ₀, функция f(x) является суммой степенного ряда, т.е. тогда на основании свойства 3 степенных рядов следует

Пусть x=x ₀. Из (15.1.8) и полученных производных следует

(15.2.1)

……………………………………………

……………………………………………

Подставляя найденные значения коэффициентов в (15.1.8), получаем ряд для функции f(x).

,

который называется рядом Тэйлора.

Если x ₀=0, то ряд Тейлора примет вид

(15.2.2)

и называется рядом Маклорена для функции f(x).

Следует отметить, что не всякая функция f(x) может быть суммой ряда Маклорена. Т.е. формально для многих функций можно записать ряд Маклорена (Тэйлора). Но не всегда этот ряд будет иметь суммой функцию f(x) (сходиться к функции f(x)).

Так же, как и для числовых рядов (п.14.1) сумму f(x) ряда Маклорена можно представить в виде

(15.2.3.)

где S_n(x) – частичная сумма; r_n(x) – n -й остаток ряда. На основании теоремы 14.4 можно сформулировать теорему.

Теорема 15.2. Чтобы ряд Маклорена сходился к функции f(x), необходимо и достаточно чтобы (15.2.4)

для всех значений x, принадлежащих интервалу сходимости.

Можно доказать, что если функция f(x) разложима в ряд Тэйлора, то это разложение единственное.