Тема 15 Степенные ряды

Цель лекции показать: а)степенные ряды есть обобщение числовых рядов; б)аппарат степенных рядов широко используется для нахождения приближенного решения многих задач, которые не могут быть получены традиционными методами. В частности, для вычисления «неберущихся» интегралов. Задача: уяснить, что ряд Маклорена, формально записанный для некоторой функции, может сходиться к ней только на некотором промежутке (уметь находить интервал сходимости), может вообще расходиться или сходиться к другой функции. Для разложения функции в степенной ряд (ряд Маклорена) следует знать разложение в ряд элементарных функций е^х, ln(1+а), (1+х)^m и научиться использовать их для разложения в ряд других функций. Следует четко представлять, что при использовании рядов в приближенных вычислениях необходимо учитывать область сходимости ряда. Используя ряды в приближенных вычислениях следует различать задачи двух видов: а)при заданной точности результата определить необходимое число членов ряда, обеспечивающих эту точность;

б)вычислив сумму некоторого числа членов ряда (частичную сумму), указать погрешность результата. Понимание этого обеспечит решение задания по этой теме, содержащееся в контрольной работе №2.

15.1 Понятие функционального и степенного ряда. Теорема Абеля. Ин­тервал и радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интег­рирование степенных рядов.

15.2 Ряды Тэйлора (Маклорена). Разложение в ряд функций y=e^x, . Биномиальный ряд.

15.3 Применение рядов в приближенных вычислениях значений функ­ций и определенных интегралов.