Определение вида кривой второго порядка

По данному уравнению кривой второго порядка общего вида непонятно, какую кривую оно определяет. Чтобы выяснить это, уравнение требуется привести к каноническому виду с помощью преобразования координат. Если при этом используются только параллельные переносы и повороты, то определяется не только вид, но и все параметры кривой. Если же используется косоугольная система координат, то параметры искажаются, и мы сможем определить только вид кривой. Особым является случай, когда в уравнении кривой отсутствует произведение Вху. В этом случае преобразование координат основано на выделении полных квадратов, преобразование сводится к параллельному переносу, и параметры кривой сохраняются.

Пример 10. Определите вид и параметры кривой второго порядка, задаваемой уравнением 2 x ² – 3 y ² + 4 x – 12 y – 16 = 0.

Решение. а) Сначала выделим полные квадраты:

2(x ² + 2 x) – 3(y ² – 4 y) – 16 = 0;

2(x ² + 2 x + 1) – 2 – 3(y ² – 4 y + 4) + 12 – 16 = 0;

2(x + 1)² – 3(y – 2)² = 6.

Сделаем замену переменных: x + 1 = x ₁, y – 2 = y ₁:

2 x ₁² – 3 y ₁² = 6;

;

.

Получилось уравнение гиперболы с параметрами , , , .

Пример 11. Определите вид кривой второго порядка, задаваемой уравнением x ² – 2 xy + 3 y ² + 4 x – 8 y – 2 = 0.

Решение. а) Сначала произведем преобразование, позволяющее убрать член 2 xy:

(x ² – 2 xy + y ²) + 2 y ² + 4 x – 8 y – 2 = 0;

(x – y)² + 2 y ² + 4 x – 8 y – 2 = 0.

Делаем замену x – y = x ₁, y = y ₁, откуда x = x ₁ + y ₁:

x ₁² + 2 y ₁² + 4(x ₁ + y ₁) – 8 y ₁ – 2 = 0;

x ₁² + 2 y ₁² + 4 x ₁ – 4 y ₁ – 2 = 0;

(x ₁² + 4 x ₁+ 4) – 4 + 2(y ₁²– 2 y ₁ +1) – 2 – 2 = 0;

(x ₁+ 2)² + 2(y ₁ – 1)² = 8;

.

Получилось уравнение эллипса. Его параметры по полученному уравнению определить невозможно, так как в процессе преобразований они исказились.