Кривые второго порядка. Уравнение второго порядка – это уравнение вида

Уравнение второго порядка – это уравнение вида

Ax ² + Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0.

Такое уравнение преобразованиями координат приводится к одному из следующих видов:

Уравнение	Фигура
	Эллипс
	Точка
	Пустое множество (мнимый эллипс)
	Гипербола
	Пара пересекающихся прямых
y 2 = 2 px, p > 0	Парабола
y 2 = а 2, а ¹ 0	Пара параллельных прямых
y 2 = – а 2, а ¹ 0	Пустое множество (пара мнимых параллельных прямых)
y 2 = 0	Прямая (пара совпавших прямых)

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а.

Выведем уравнение эллипса. Для этого расположим координатные оси так, чтобы фокусы F ₁ и F ₂ располагались на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Пусть расстояние между ними равно 2 с, значит, они имеют координаты
F ₁(– с, 0) и F ₂(с, 0). Пусть M (x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда из определения эллипса получаем уравнение

MF ₁ + MF ₂ = 2 a.

Подставляем MF ₁ = , MF ₂ = , получаем

+ = 2 а.

Это уравнение приводится к виду

(a ² – c ²) x ² + a ² y ² = a ²(a ² – c ²).

При этом a > c, поэтому a ² – c ² > 0, и можно ввести обозначение a ² – c ² = b ². Уравнение тогда приводится к виду b ² x ² + a ² y ² = a ² b ². Разделив его на a ² b ², получим каноническое уравнение эллипса

.

Эллипс симметричен относительно координатных осей и пересекает ось абсцисс в точках А ₁(– с, 0) и А (с, 0), ось ординат в точках B ₁(– b, 0) и B (b, 0). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок А ₁ А называется большой осью эллипса, отрезок В ₁ В – малой осью. Таким образом, а и b – это длины большой и малой полуосей.

Эксцентриситетом эллипса называется число . Для любого эллипса . Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса: чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее сжат эллипс. При = 0 эллипс является окружностью. При этом фокусы эллипса сливаются в одну точку, совпадающую с центром эллипса.