Билет 11. Интерполирование сплайнами.

7. Интерполирование сплайнами.

Определение кубического сплайна. Теорема о существовании и единственности кубического сплайна (сведение задачи построения кубического сплайна к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, существование и единственность решения).

Теоремы о сходимости и скорости сходимости (без доказательств).

Билет 12. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций.

Глава 3. Численное интегрирование

Постановка задачи численного интегрирования

Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

1. Метод прямоугольников

Квадратурные формулы прямоугольников. Оценка погрешности.

2. Метод трапеций

Квадратурные формулы трапеций. Оценка погрешности.

Билет 13. Квадратурные формулы Симпсона.

3. Метод Симпсона.

Квадратурные формулы парабол.

Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (без вывода). Оценка погрешности.

Билет 14. Квадратурные формулы Гаусса.

Квадратурные формулы Гаусса.

1. Постановка задачи.

2. Полиномы Лежандра.

Свойства полиномов Лежандра (четность, значения в точках 1 и -1, свойства корней, свойство ортогональности полиномов Лежандра).

3. Узлы и коэффициенты квадратуры Гаусса.

Способ построения узлов, способ вычисления коэффициентов.

4. Точность формулы Гаусса для полиномов степени 2n-1.

Доказательство того, что построенная по указанным узлам и коэффициентам формулам есть формула Гаусса. Пример.

Глава 4. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.

Билет 15. Сеточные функции. Разностная аппроксимация первой и второй производной.

Сеточные функции, аппроксимация.

1. Постановка задачи.

2. Сетка, сеточные функции.

Определение сетки, сеточной функции. Пространство сеточных функций. Разностная схема. Погрешность решения разностной схемы, погрешность аппроксимации дифференциального оператора, погрешность аппроксимации правой части, сходимость, порядок сходимости и аппроксимации.

Разностная аппроксимация первой и второй производной.

1. Первая производная.

Правая, левая и центральная производная. Погрешность аппроксимации.

2. Вторая производная.

Аппроксимация второй производной, погрешность аппроксимации.

Билет 16. Метод Эйлера.

Численное решение задачи Коши.

1. Метод Эйлера

Формула явного метода Эйлера. Погрешность аппроксимации. Доказательство сходимости, оценка скорости сходимости.