Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности.

Билет 1. Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса.

Билет 2. Трехдиагональные системы линейных алгебраических уравнений. Метод прогонки.

Билет 3. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Число обусловленности.

Билет 4. Одношаговые итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений. Достаточные условия сходимости.

Билет 5. Метод простой итерации.

Билет 6. Метод Зейделя.

Билет 7. Метод верхней релаксации.

Билет 8. Интерполирование полиномами. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона.

Билет 9. Погрешность интерполяционного полинома.

Билет 10. Интерполирование с кратными узлами. Полиномы Эрмита

Билет 11. Интерполирование сплайнами.

Билет 12. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций.

Билет 13. Квадратурные формулы Симпсона.

Билет 14. Квадратурные формулы Гаусса.

Билет 15. Сеточные функции. Разностная аппроксимация первой и второй производной.

Билет 16. Метод Эйлера.

Билет 17. Метод Рунге-Кута.

Билет 18. Метод Адамса.

Билет 19. Разностная аппроксимация краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Содержание

Глава 1 Численное решение систем линейных алгебраических уравнений.

Билет 1. Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса.

Постановка задачи численного решения СЛАУ.

§ 1. Прямые методы.

1. Правило Крамера

Формулы Крамера (без вывода). Оценка количества действий (с использованием формулы Стирлинга).

2. Метод Гаусса

Прямой ход, формулы прямого хода, получение треугольной матрицы. Обратный ход, формулы обратного хода. Оценка количества действий.

3. Метод Гаусса с выбором главного элемента

Оценка роста погрешности вычислений в процессе обратного хода. Выбор главного элемента, ограниченность погрешности.

4. Система с диагональным преобладанием.

Определение, теорема о существовании и единственности решения системы с диагональным преобладанием.

Билет 2. Трехдиагональные системы линейных алгебраических уравнений. Метод прогонки.

5. Системы с трехдиагональной матрицей. Метод прогонки.

Запись системы с трехдиагональной матрицей в виде системы «трехточечных» уравнений. Формулы метода прогонки – прямого и обратного хода. Теорема о корректности метода прогонки. Устойчивость метода прогонки.

Билет 3. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Число обусловленности.

Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности.

Непрерывная зависимость погрешности решения от погрешности правой части для системы с невырожденной матрицей. Определения абсолютной и относительной погрешности. Оценка относительной погрешности решения через относительную погрешность правой части. Определение числа обусловленности, роль числа обусловленности. Примеры.

Лемма об оценке числа обусловленности через собственные значения невырожденной матрицы. Лемма о числе обусловленности самосопряженной невырожденной матрицы.