Принцип виртуальных перемещений. Общее уравнение статики.

Лекция 7.

В состоянии покоя, очевидно, все силы инерции точек механической системы равны нулю. Поэтому из общего вариационного принципа механики вытекает следующее утверждение, называемое в механике принципом виртуальных перемещений (принципом Лагранжа):

В положении равновесия механической системы с идеальными удерживающими связями сумма виртуальных работ активных сил равна нулю

(7.1)

Применительно к рычагу (рис. 7.1) это совпадает с «золотым правилом механики»: выигрывая в силе, мы проигрываем в расстоянии. В этом случае

, => .

Рис. 7.1

Из общего уравнения механики в обобщенных координатах для голономных систем

. (7.2)

сразу вытекает общее уравнение статики (при этом ).

В положении равновесия механической системы с идеальными удерживающими связями все ее обобщенные силы равны нулю

. (7.3)

Из него могут быть получены, как частный случай, все результаты т.н. геометрической статики – раздела теоретической механики, изучающей равновесие и преобразование систем сил, приложенных к твердому телу.

Выведем это положение немного с другой стороны, что понадобится нам в дальнейшем. Рассмотрим структуру уравнений (7.2). Для этого представим обобщенные силы инерции через кинетическую энергию, как в уравнениях Лагранжа,

, k=1, 2,..., s. (7.4)

и получим выражение кинетической энергии в обобщенных координатах.

Для этого запишем выражение кинетической энергии в декартовых координатах и подставим туда выражение скоростей точек системы через обобщенные координаты и обобщенные скорости. Для каждой точки имеем выражение ее координат через обобщенные координаты и время

.

Откуда .

Поэтому .

Здесь

, , ,

, .

Если же система склерономная (стационарная), то

.

В любом случае, есть линейная форма обобщенных ускорений, а есть функция обобщенных координат и обобщенных скоростей.

Этот же результат может быть получен, если вместо формул (7.4) использовать формулы (5.7), куда подставить (5.3).

Правые части уравнений (7.2) согласно выражению для обобщенных сил (5.6) и тому факту, что активные силы могут быть функциями времени, координат и скоростей их точек приложения, будут функциями времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей. Поэтому система уравнений (7.2) есть система обыкновенных уравнений 2-го порядка, которая, согласно теореме Коши, имеет единственное решение, если заданы начальные условия , а правые части удовлетворяют условиям непрерывности и ограниченности, что в задачах динамики всегда имеет место.

И этого следует важный вывод о том, что, если имеется две системы сил, таких, что у них одинаковы обобщенные силы для выбранных обобщенных координат, то механическая система будет вести себя совершенно одинаково под действием этих систем сил. Такие системы сил будем называть эквивалентными по действию на механическую систему, или, просто, эквивалентными. Таким образом,

Системы сил эквивалентны, если у них одинаковы обобщенные силы для одних и тех же обобщенных координат.

Учитывая выражение для виртуальной работы (5.5)

,

можно сказать по-другому,

Системы сил эквивалентны, если у них одинаковы виртуальные работы на одних и тех же виртуальных перемещениях.

В частности, положение произвольной точки свободного твердого тела M_i можно представить в виде

, (7.5)

где ‑ радиус-вектор полюса, – вектор, задающий положение точки M_i относительно полюса.

Возьмем производную от левой и правой частей равенства (7.5), получим

(7.6)

где – угловая скорость тела при сферическом движении относительно полюса O.

Умножим левую и правую часть равенства (7.6) на

Рис. 7.1 .

Введем величину – вектор элементарного поворота тела за промежуток времени . Модуль этого вектора равен углу поворота вокруг мгновенной оси вращения, направление совпадает с направлением угловой скорости поворота . Учитывая, что для свободного твердого тела, как для системы со стационарными связями, действительное элементарное перемещение совпадает с одним из виртуальных, перепишем это в вариациях

. (7.7)

Определим виртуальную работу силы на таком перемещении

(7.8)

где ‑ главный вектор, а – главный момент системы сил относительно точки O.

Таким образом, из (7.8) следуют условия равновесия твердого тела , и тот факт, что системы сил, приложенных к твердому телу, эквивалентны, если у них одинаковы главный вектор и главный момент. При этом, и можно трактовать как векторные обобщенные координаты твердого тела, тогда и будут векторными соответствующими обобщенными силами.

Для доказательства основной теоремы статики надо установить свойства сил и пар, которые состоят в следующем.

Свойство	Рисунок	Доказательство
Сила - скользящий вектор		Чтобы сила в была эквивалентна надо, чтобы (тогда будут одинаковы главные векторы), а чтобы были одинаковы моменты сил, необходимо, чтобы совпадали линии действия сил и .
Сложение параллельных сил		Чтобы результирующая сила имела такой же главный вектор, необходимо, чтобы . Чтобы она имела такой же момент, необходимо, чтобы
Пара сил приводится к главному моменту, равному моменту пары		Главный вектор пары равен нулю. Для любого центра главный момент пары равен моменту пары Пары равны, если равны их моменты. Две пары эквивалентны одной, момент которой равен сумме моментов пар.

Таким образом, главный вектор системы сил можно трактовать как силу, а главный момент – как пару. Поэтому, возвращаясь к (7.8), любая система сил, приложенная к твердому телу, эквивалентна для выбранного центра совокупности силы ‑ главного вектора и пары ‑ главного момента (основная теорема статики твердого тела – теорема Пуансо).

Аналогично доказывается теорема Вариньона

Момент равнодействующей системы сил относительно центра или оси равен сумме моментов составляющих сил системы относительно того же центра или той же оси, соответственно.

На принципе виртуальных перемещений основан способ формирования уравнений равновесия в ПК КИДИМ.

Из формулы (7.8) определим виртуальную работу одной силы на перемещении , подставив проекции векторов виртуальных перемещений и приложенной силы

, , .

Получим

Тогда виртуальная работа (6.8) может быть записана

(7.9)

Выражение (7.9) позволяет представить силу при помощи трех силовых элементов, соответствующих каждому слагаемому.

Для плоской системы сил За обобщенные координаты следует взять оставшиеся вариации

(7.10)

Тогда равенство (7.9) примет вид

, (7.11)

Выражение (7.11) дает возможность представить силу плоской системы совокупностью двух силовых элементов с характеристиками { , } и структурами { , }, определяемыми по формулам:

, ,

где x_i, y_i – координаты точки приложения силы.

Общие теоремы динамики. Продемонстрируем универсальность принципа Даламбера-Лагранжа на примере доказательства общих теорем динамики и законов т.н. геометрической статики. Кроме того, такие доказательства иллюстрируют мировоззренческий смысл теорем и их следствий – законов сохранения. Теорема импульсов иллюстрирует однородность пространства, теорема моментов – изотропность пространства, теорема об изменении кинетической энергии – однородность времени. В предлагаемом подходе доказательство их также очень лаконично, кроме того, так как рассуждения проводятся на языке виртуальных перемещений, более прозрачным становится вопрос о существовании той или иной теоремы для конкретной механической системы, того или иного закона сохранения. В связи с этим несколько меняются формулировки этих теорем.

1. Теорема импульсов. Будем различать здесь два возможных случая. В одном связи системы будут допускать поступательное перемещение ее в каком-либо направлении, в другом случае система свободная или применением принципа освобождаемости от связей сделана таковой. Во втором случае в разряд активных сил включены и реакции отброшенных связей. В первом случае теорема формулируется следующим образом:

Если связи допускают поступательное перемещение механической системы как целого вдоль некоторой прямой, то производная по времени от проекции импульса системы на эту прямую равна проекции главного вектора системы внешних сил на эту прямую.

Если пространство однородно, значит, механические свойства систем не зависят от того, где эта система расположена в пространстве. Поэтому ничего в законах механики не должно измениться, если систему отсчета мгновенно переместить поступательно в некоторое соседнее положение. Тот же результат будет, если мгновенно поступательно переместить рассматриваемую механическую систему в соседнее положение.

Даем системе поступательное виртуальное перемещение , где - орт прямой, вдоль которой связями допускается такое перемещение. Из принципа д’Аламбера-Лагранжа (5.2)

получим

,

т.е. (7.12).

Так как ‑ постоянный вектор, то, обозначим и , что означает, соответственно, проекцию импульса системы и проекцию главного вектора активных сил на направление поступательного перемещения, допускаемого связями. Тогда получим искомое

. (7.13)

Если связи системы не дают возможность поступательно перемещаться ей, то, применением принципа освобождаемости от связей, ее можно сделать свободной (тогда в разряд активных сил, входящих в формулировку принципа д’Аламбера-Лагранжа, войдут реакции отброшенных связей). Если система свободная или становится свободной применением принципа освобождаемости от связей, то орт в формуле (7.12) произвольный, а, значит, в ней коэффициенты при нем справа и слева должны быть одинаковы, поэтому из (7.12) и равенства нулю главного вектора внутренних сил системы следует векторная форма теоремы

Для свободной механической системы производная по времени от вектора импульса системы равна главному вектору системы внешних сил (активных и сил реакций освобожденных связей)

. (7.14)

2. Теорема моментов. Будем и здесь различать два возможных случая. В одном связи системы будут допускать вращательное перемещение ее вокруг фиксированной оси, в другом случае система свободная или применением принципа освобождаемости от связей сделана таковой. Во втором случае в разряд активных сил включены и реакции отброшенных связей. В первом случае теорема формулируется следующим образом:

Если связи допускают вращательное перемещение механической системы как целого вокруг некоторой оси, то производная по времени от проекции кинетического момента системы на эту ось равна проекции главного момента системы внешних сил на эту ось.

Если пространство изотропно, значит, механические свойства систем не зависят от того, как повернута эта система в пространстве. Поэтому ничего в законах механики не должно измениться, если систему отсчета мгновенно повернуть в некоторое соседнее положение. Тот же результат будет, если мгновенно вращательно переместить рассматриваемую механическую систему в соседнее положение.

Даем системе вращательное виртуальное перемещение на некоторый угол вокруг оси, орт которой обозначим . Если система ввиду наложенных связей не может иметь вращательное перемещение, то применением принципа освобождаемости от связей она приобретает необходимое свойство. При этом среди активных сил появятся силы реакций освобожденных связей. И в том и в другом случае из принципа д’Аламбера-Лагранжа (5.2)

получим, воспользовавшись формулой Эйлера для перемещений каждой точки при вращательном виртуальном перемещении системы .

,

откуда (7.15).

Так как ‑ постоянный вектор, то, обозначим и , что означает, соответственно, проекцию кинетического момента и проекцию главного момента активных внешних сил системы на направление оси вращательного перемещения, допускаемого связями. Тогда получим искомое

. (7.16)

Если система свободная или становится свободной применением принципа освобождаемости от связей и введением в разряд активных сил – сил реакций освобожденных связей, то орт в формуле (7.15) произвольный, поэтому из (7.15) и равенства нулю главного момента внутренних сил системы следует векторная форма теоремы

Для свободной механической системы производная по времени от вектора кинетического момента системы, определенного относительно некоторого неподвижного центра, равна главному моменту системы внешних сил (активных и сил реакций освобожденных связей), определенному относительно того же центра

. 7.17)

3. Теорема об изменении кинетической энергии.

Если идеальные связи, наложенные на систему, не зависят от времени, то дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ на действительных перемещениях всех внешних и внутренних активных сил.

Если время однородно, значит, механические свойства систем не зависят от того, в какой момент она рассматривается. Поэтому ничего в законах механики не должно измениться, если систему отсчета мгновенно передвинуть во времени в некоторый соседний момент. Тот же результат будет, если мгновенно переместить во времени рассматриваемую механическую систему в соседний момент.

Таким образом, здесь речь идет о стационарных связях, в уравнения которых время не входит. В этом случае множество виртуальных перемещений системы совпадает с множеством возможных, одним из которых будет действительное перемещение. Поэтому без нарушения общности можно считать, что система получает бесконечно малое действительное перемещение, поэтому , а (5.2) получит вид

,

поэтому , (7.18)

То есть,

. (7.19)

Для так называемых неизменяемых систем - систем, состоящих из твердых тел с идеальными связями между ними, суммы работ внутренних сил которых равны нулю.

Если активные силы консервативны, то , где U – потенциальная энергия, получаем интеграл энергии в дифференциальной форме

и в интегральной форме

(7.20).