Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Лекция 10. Уравнения Лагранжа 1-го рода
Применяются при решении специальных задач. Прежде всего, их можно применить для определения реакций идеальных связей при движении системы. Достоинством уравнений Лагранжа 2-го рода является отсутствие в них реакций идеальных связей, что существенно облегчает задачу динамики и, вообще, делает ее разрешимой. Найти реакции идеальных связей в этом случае можно способом, основанным на применении принципа освобождаемости от связей. Сначала решается задача по определению законов изменения обобщенных координат, в которой реакции идеальных связей не учитываются. Затем механическая система разнимается по связям, реакции которых необходимо найти. Составляются уравнения Лагранжа 2-го рода для полученных в результате разъема связей частей системы. Туда подставляется найденное ранее решение и таким образом находится значение реакций связей. Получим уравнения Лагранжа 1-го рода.
Имеем МС с l идеальными связями, уравнения которых (10.1) Отсюда, в соответствии с тем, что при варьировании время не меняется, а операция варьирования совпадает с операцией дифференцирования, получим (10.2) Умножим (10.2) на λ j и сложим, получим (10.3) В то же время по свойству идеальности связей (10.4) где ‑ реакции идеальных связей. Вычтем из уравнения (10.3) уравнение (10.4), получим (10.5) Среди 3 N вариаций независимых вариаций будет только столько, сколько степеней свободы у МС, т.е. s. Остальные 3 N - s, т.е. l будут зависимыми и выражаются через независимые из (10.2). Поэтому подберем значения коэффициентов λ j так, чтобы выражения в скобках, куда они входят в уравнении (10.5), обращались в ноль. Остальные 3 N - l=s скобок обязаны равняться нулю, т.к. при них стоят независимые вариации, а сумма (10.5) равна нулю при любых значениях этих вариаций. Таким образом, все скобки в выражении (10.5) равны нулю . Откуда, находятся все силы реакций идеальных связей . Запишем теперь уравнения движения всех точек системы, исходя из ІІ закона Ньютона (10.6) Это и есть уравнения Лагранжа I рода. В этих 3 N уравнениях 3 N + l неизвестных, поэтому к ним следует добавить l уравнений связей (10.1). Пример. Рассмотрим пример малых движений математического маятника (рис. 8.1а). а б Рис. 10.1. Выбрав за обобщенную координату угол поворота оси невесомой нити от вертикали φ, получим Тогда, согласно уравнениям Лагранжа 2-го рода (5.1), получим . (10.7) Откуда находим . (10.8) Теперь разрежем нить (освободим точку М от связи) и составим уравнение для точки М, движущейся под действием силы тяжести и силы натяжения нити (рис. 10.1б). Проектируем уравнение движения точки в форме 2-го закона Ньютона на нормаль, получаем , Откуда, . (10.9) Для одновременного получения закона движения механической системы и действующих в ней реакций связей и служат уравнения Лагранжа 1-го рода. Составим уравнения движения математического маятника в форме уравнений Лагранжа 1-го рода (10.10) Выразим проекции силы реакции связи через неопределенные множители Лагранжа , , , , получим уравнения (10.10) в виде Найдем из первого , подставим во второе, получим . (10.11) Это уравнение решается заменой , . (10.12) получим уравнение (10.7). Но, одновременно, . После подстановки в первое уравнение заменяющей формулы (10.12) и уравнения (10.7), окончательно, получим , что совпадает с решением (10.9).
|