Схема независимых испытаний Бернулли

Определение. Испытания образуют относительно исхода последовательность независимых испытаний по схеме Бернулли, если выполняются два условия:

1. Исходы испытаний независимы в совокупности.

2. Вероятность исхода во всех испытаниях одинакова и равна .

Терминология: — успех, — вероятность успеха, — неудача, — вероятность неудачи.

Пример. Многократные бросания монеты образуют по отношению к исходу , заключающемуся в выпадении герба, последовательность независимых испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха .

Введем обозначение: – вероятность того, что при проведении испытаний по схеме Бернулли успех будет иметь место ровно раз.

Теорема (о вероятности числа успехов). Справедлива формула:

. (21)

(Здесь – число сочетаний из по ; см. п. 1.5).

Доказательство. Пусть — событие, которое заключается в том, что при проведении испытаний успех будет иметь место ровно раз, так что . Тогда является суммой попарно несовместных событий , каждое из которых имеет вид произведения (одновременного наступления) событий:

, (22)

причем среди множителей раз встречается успех и раз — неудача :

,

и

. (23)

В серии из испытаний можно выбрать номеров успешных испытаний различными способами. Поэтому число слагаемых в сумме (23) равно (см. последние примеры в п. 1.5 и в п. 3.4).

Вероятность отдельного слагаемого вычисляется по теореме умножения для независимых событий (исходы разных испытаний, по предположению, не влияют друг на друга):

,

поскольку в произведении (22) содержится множителей-успехов, имеющих вероятность , и множителей-неудач, вероятность которых равна .

В результате в (23) имеем одинаковых слагаемых, равных . Поэтому . ▄

Пример. Испытание: из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад извлекается один шар (после чего возвращается обратно). Успех – извлеченный шар оказался белым. Найти вероятность того, что из семи испытаний ровно четыре будут успешными.

Решение. По схеме равновозможных исходов находим вероятность успеха в одном испытании: . Далее, ,

. Применяя формулу (21), получаем:

.