Формулы Бейеса

Рассмотрим следующую ситуацию. Имеются две внешне неразличимые урны. В урне № 1 находятся (миллион) белых шаров и черный шар; в урне № 2, наоборот, находятся белый шар и черных.

Из схемы равновозможных исходов следует, что вероятность выбрать наугад урну № 1 (гипотеза ), как и вероятность выбрать наугад урну № 2 (гипотеза ), обе равны . Эти вероятности называют априорными (латинское «a priori» означает «до опыта»).

Предположим теперь, что из выбранной наугад урны также наугад извлекли один шар, и он оказался белым. Понятно, что, скорее всего, то есть с вероятностью, близкой к единице, это шар из урны № 1 (это апостериорная вероятность гипотезы ; латинское «a posteriori» означает «после опыта»). Наоборот, «почти невозможно», то есть с апостериорной вероятностью, близкой к нулю, это шар из урны № 2.

Таким образом, информация о наступлении некоторого случайного события изменяет наши представления о вероятностях гипотез. Формулы Бейеса дают точное количественное выражение для апостериорных вероятностей гипотез.

Теорема. Пусть для событий («гипотез») и события выполняются три условия:

1. Гипотезы образуют полную группу.

2. Гипотезы имеют ненулевые вероятности:

.

3. .

Тогда при справедливы формулы:

или в краткой записи:

. (20)

Замечания. 1. Формулы (20) носят название формул Бейеса.

2. Второе условие теоремы обеспечивает существование условных вероятностей , а третье — существование условных вероятностей (см. п. 3.6).

Доказательство. По теореме умножения имеем (см. формулу (13) в п. 3.7):

,

откуда . Заменяя в знаменателе число его выражением по формуле полной вероятности (19), приходим к (20). ▄

Решение задач с применением формул Бейеса рекомендуется проводить по следующему плану:

1. Введение гипотез .

2. Проверка полноты и попарной несовместности гипотез.

3. Вычисление вероятностей гипотез (например, по схеме равновозможных исходов).

4. Вычисление условных вероятностей .

5. Применение формулы (20).

Пример. Испытание: В двух урнах первого типа находится по белых и черных шара, а в пяти урнах второго типа – соответственно по белых и черному. Наугад выбирается урна, и из нее извлекается шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что он извлечен из урны первого типа.

Решение. Пусть событие заключается в том, что извлеченный шар оказался белым. Введем гипотезы:

– выбрана урна первого типа;

– выбрана урна второго типа.

По схеме равновозможных исходов , . Далее, , . По формуле (20) получаем:

.