Равновесие зарядов на проводниках. Поле вблизи поверхности заряженного проводника

Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение следующих условий:

Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю,

В соответствии с (8.2) это означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным).

2. Напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности:

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной.

Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Представим себе произвольную замкнутую поверхность, полностью заключенную в пределах тела. При равновесии зарядов поле в каждой точке внутри проводника отсутствует; поэтому поток вектораэлектрического смещения через поверхность равен нулю. Согласно теореме Гаусса сумма зарядов внутри поверхности также будет равна нулю. Это справедливо для поверхности любых размеров, проведенной внутри проводника произвольным образом. Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов — все они распределятся по поверхности проводника с некоторой плотностью о.

Поскольку в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном расположении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как и на сплошном, т. е. по его наружной поверхности.

На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут. Этот вывод вытекает также из того, что одноименные элементарные заряды, образующие данный заряд q, взаимно отталкиваются и, следовательно, стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

Представим себе небольшую цилиндрическую поверхность, образованную нормалями к поверхности проводника и основаниями величины dS, одно из которых расположено внутри, а другое вне проводника (рис. 24.1). Поток вектора электрического смещения через внутреннюю часть поверхности равен нулю, так как внутри проводника Е, а значит и D, равно нулю. Вне проводника в непосредственной близости к немунапряженность поля Е направлена по нормали к поверхности. Поэтому для выступающей наружу боковой поверхности цилиндра а для внешнего основания (внешнее основание предполагается расположенным очень близко к поверхности проводника). Следовательно, поток смещения через рассматриваемую поверхность равен, где D — величина смещения в непосредственной близости к поверхности проводника. Внутри цилиндра содержится сторонний заряд (— плотность заряда в данном месте поверхности проводника). Применив теорему Гаусса, получим: Отсюда следует, что напряженность поля вблизи поверхности проводника равна

36)Уравнения Лапласа и Пуассона. Общая задача электростатики

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, подставляя в уравнение

вместо величин Е_х; Е_у; Е_z их выражения через потенциал:

получаем уравнение

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона.

Интеграл

является решением уравнения Пуассона для случая, когда заряды распределены в конечной области пространства.

Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные электрические заряды, то уравнение Пуассона получает вид

и называется в этом частном случае уравнением Лапласа.

Отметим, что в цилиндрической и сферической системах координат уравнение Пуассона и Лапласа имеют другую форму записи. Поэтому данные уравнения часто записывают в виде, не зависящем от системы координат:

; (1.11)

(1.12)

Вектор напряженности

по теореме Гаусса =>

- уравнение Пуассона.

В случае - нет зарядов между проводниками, получаем

- уравнение Лапласа.