Аналитические модели одноканальных СМО с отказами и с ожиданием

Величины P₀, P_отк, q рассчитываются по разному в зависимости от типа СМО.

1) Точный расчет возможен для Марковских СМО на основе аналитических зависимостей.

2) Приближенный расчет возможен для любых типов СМО методами имитационного моделирования.

Одноканальные СМО с отказами

М/М/1/0

Граф состояний

S₀ – канал свободен

S₁ – канал занят

P₀(t) – вероятность состояния «канал свободен»

P₁(t) – вероятность состояния «канал занят»

При t стремящимся к бесконечности

Одноканальная СМО с ожиданием

М/М/1/N-1

S₀ – канал свободен

S₁ – канал занят, в очереди 1 заявка

S_n – канал занят, в очереди N-1 заявка

15. Аналитические модели многоканальных СМО с отказами и с ожиданием.

Состояния системы: - ни один канал не занят; - среди свободных каналов только один является занятым.… - среди свободных занято каналов; … - среди всех каналов нет ни одного свободного. Рядом со стрелками обозначены интенсивности соответствующих потоков событий. По стрелкам слева направо переходу системы способствует поток заявок, интенсивность которого составляет (количество несвободных каналов) и поступила очередная заявка, то осуществляется перемещение системы в состояние .

Найдем интенсивности потоков событий, которые способствуют переходу системы в направлении (стрелки) справа налево. Допустим система находится в состоянии , соответственно, интенсивность потока событий, который заставляет переходить систему из одного состояния в другое по направлению занятых каналах, интенсивность потока составит .

В соответствии с общими правилами запишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

С ожиданием

Система с ограниченной длиной очереди. Разберем n-канальную СМО с ожиданием, интенсивность приходящих заявок которой равняется ; интенсивность обслуживания — , количество мест в очереди — .

Для каждого состояния системы определяется соответствующий числу заявок номер. Эти заявки имеют взаимосвязь с системой.

отсутствие очереди:

- нет ни одного занятого канала; - среди свободных каналов, занятым является только один; … - среди свободных заняты только каналы; … - нет ни одного свободного канала; существует очередь: - нет ни одного свободного канала, существует одна очередная заявка;

… - нет свободных каналов, число очередных заявок — ; … .

Отобразим выражения для предельных вероятностей состояний, применяя обозначение :

(в данном случае использовано выражение для суммы геометрической прогрессии, знаменатель которой включает ). Вероятность отказа. Прибывшей в систему заявке может быть отказано в случае, если нет свободных мест в очереди: