Структура математичної моделі

У досить загальному випадку досліджуваний технічний об'єкт (ТО) кількісно можна охарактеризувати векторами R ^k, R^m і R^п зовнішніх, внутрішніх та вихідних параметрів відповідно. Одні й ті ж фізичні, механічні або інформаційні характеристики ТО в моделях різного рівня і змісту можуть виконувати роль як зовнішніх або внутрішніх, так і вихідних параметрів.

Наприклад, для електронного підсилювача вихідними параметрами є коефіцієнт посилення, смуга частот пропускання сигналів, вхідний опір, потужність, що розсіюється, зовнішніми - опір і ємність навантаження, напруги джерел живлення, температура навколишнього середовища, а внутрішніми - опору резисторів, ємності конденсаторів, характеристики транзисторів. Але якщо в якості розглядати окремо взятий транзистор, то такі його характеристики, як відпираючи напруга і колекторний струм, слід вже віднести до його вихідних параметрів, а в якості зовнішніх треба буде розглядати струми і напруги, що задаються комутуючими з ним елементами підсилювача.

При створенні ТО значення вихідних параметрів або діапазонів їх можливої зміни обумовлюють в технічному завданні на розробку ТО, тоді як зовнішні параметри характеризують умови його функціонування. У порівняно простому випадку математична модель (ММ) ТО може представляти собою співвідношення

y = f (x, g), R ^k, R^m и R^п, (1.2)

де f - векторна функція векторного аргументу. Модель у вигляді (1.2) дозволяє легко обчислювати вихідні параметри по заданим значенням зовнішніх і внутрішніх параметрів, тобто вирішувати так звану пряму задачу. В інженерній практиці рішення прямої задачі часто називають повірочним розрахунком. При створенні ТО виникає необхідність вирішувати більш складну так звану обернену задачу: за обумовленими технічним завданням на проектування ТО значенням зовнішніх і вихідних параметрів знаходити його внутрішні параметри. В інженерній практиці рішенням оберненої задачі відповідає так званий проектувальний розрахунок, який часто має на меті оптимізацію внутрішніх параметрів по деякому критерію оптимальності. Однак при побудові ММ ТО функція f в (1.2) зазвичай заздалегідь не відома і її належить встановити. Це найбільш складна так звана завдання ідентифікації ММ (від латинського слова identifico - ототожнюю, якому в даному випадку додають сенсу " розпізнаю").

Задача ідентифікації може бути вирішена шляхом математичної обробки інформації про ряд таких станів ТО, для кожного з яких відомі (наприклад, виміряні експериментально) значення вихідних, внутрішніх і зовнішніх параметрів. Один з таких способів пов'язаний із застосуванням регресійного аналізу [1]. Якщо інформація про внутрішні параметри відсутня або ж внутрішній устрій ТО досить складний, то ММ такого ТО будують за принципом чорної скриньки - встановлюють співвідношення між зовнішніми і вихідними параметрами шляхом дослідження реакції ТО на зовнішні впливи.

Теоретичний шлях побудови ММ полягає у встановленні зв'язку між у, х і g у вигляді операторного рівняння

L(u(z))=0, (1.3)

де L - деякий оператор (у загальному випадку нелінійний), 0 - нульовий елемент простору, в якому діє цей оператор, z - вектор незалежних змінних, в загальному випадку включає час і просторові координати, a u - вектор фазових змінних, що включає ті параметри ТО, які характеризують його стан. Але навіть якщо можливо отримати рішення (1.3) і знайти залежність u (z) від z, то далеко не завжди вдається уявити ММ ТО в явному щодо вектора у вигляді (1.2). Тому саме (1.3) визначає в загальному випадку структуру ММ ТО, а (1.2) є більш простим приватним випадком такої моделі.