Теоретичні і емпіричні моделі

За способом отримання математичні моделі (ММ) ділять на теоретичні та емпіричні (від грецького слова - досвід). Перші отримують в результаті вивчення властивостей фізичного або технічного об'єкту (ТО) і що протікають у ньому фізичних процесів, а другі є підсумком обробки результатів спостереження зовнішніх проявів цих властивостей і процесів. Один із способів побудови емпіричних ММ полягає у проведенні експериментальних досліджень, пов'язаних з вимірюванням фазових змінних ТО, і в подальшому узагальнюванні результатів цих вимірів в алгоритмічній формі або у вигляді аналітичних залежностей. Тому емпірична ММ за формою подання може містити ознаки як алгоритмічної, так і аналітичної математичної моделі. Таким чином, побудова емпіричної ММ зводиться до вирішення задачі ідентифікації.

При побудові теоретичних ММ насамперед прагнуть використовувати відомі фундаментальні закони зберігання таких субстанцій, як маса, електричний заряд, енергія, кількість руху і момент кількості руху. Крім того, привертають увагу визначальні співвідношення (так звані рівняння стану), у ролі яких можуть виступати відомі феноменологічні закони (наприклад, рівняння Клапейрона - Менделєєва стану досконалого газу, закон Ома про зв'язок сили струму в провіднику і падіння електричної напруги, закон Гука про зв'язок деформації та механічної напруги в лінійно пружному матеріалі, закон Фур'є про зв'язок градієнта температури в тілі із щільністю теплового потоку і т.п.).

Поєднання теоретичних міркувань якісного характеру з обробкою результатів спостереження зовнішніх виявлень властивостей досліджуваного ТО призводить до змішаного типу ММ, так званих напівемпіричних. При побудові таких ММ використовують основні положення теорії розмірностей, в тому числі так звану - теорему (Пі-теорему): якщо між параметрами, що характеризують досліджуваний об'єкт, існує залежність, що має фізичний сенс, то цю залежність можна представити у вигляді залежності між = n — к їх безрозмірними комбінаціями, де к - число незалежних одиниць виміру, через які можна виразити розмірності цих параметрів. При цьому n визначає кількість незалежних (які не визначаються один через одного) безрозмірних комбінацій, що зазвичай носять назву критеріями подібності (див. [1]).

Об'єкти, для яких рівні значення відповідних критеріїв подібності, вважають подібними. Наприклад, будь-який трикутник однозначно визначено довжинами a, b і с його сторін, тобто п = 3, a k = 1. Тому, у відповідності з П - теоремою, безліч подібних трикутників можна задати значеннями = п — к = 2 критеріїв подоби. В якості таких критеріїв можна вибрати безрозмірні відносини довжин сторін: b/а и с/а або будь-які дві інших незалежних відносини. Так як кути трикутника однозначно пов'язані з відносинами сторін і є безрозмірними величинами, то безліч подібних трикутників можна визначити рівністю двох відповідних кутів або рівністю кута і відносини довжин прилеглих до нього сторін. Всі згадані варіанти відповідають відомим ознаками подібності трикутників.

Для успішного застосування П - теореми до побудови моделей ТО необхідно володіти повним набором параметрів, що описують об'єкт, який вивчається, причому вибір цих параметрів повинен спиратися на аргументований якісний аналіз тих властивостей і особливостей ТО, вплив яких є істотним у даному конкретному випадку. Зазначимо, що такий аналіз необхідний при будь-якому способі побудови ММ.

Контрольні питання

1. Що розуміють під математичним моделюванням технічних об’єктів?

2. Які основні етапи математичного моделювання?

3. Дати визначення математичної моделі об'єкта?

4. Що розуміють під прямою і оберненою задачею при проведенні

моделювання?

5. Що являє собою задача ідентифікації в моделюванні?

6. Сформулювати основні функції моделей?

7. Дати визначення структурних і функціональних моделей?

8. Що розуміють під імітаційною моделлю?

9. Дати визначення теоретичної та емпіричної моделі