Рекурентні співвідношення.

Розглянемо ще один підхід до розв'язку задач дифракції в одномірношарових кристалах, який базується на використанні рекурентних співвідношень для комплексних коефіцієнтів відбивання (ККВ) і пропускання (ККП). Для двошарового середовища ці співвідношення мають вигляд:

, (1.49а)

, (1.49б)

де -ККВ і ККП першого шару, а - другого. Шари можуть бути довільної товщини від одного моноатомного шару і товстіші.

Рекурентні співвідношення (1.49) можна узагальнити на випадок кристалічної структури із N шарів:

(1.49'а)

(1.49'б)

Коефіцієнти r_N-1 i t_N-1, в свою чергу, визначаються за допомогою аналогічних (1.49) рекурентних співвідношень для другого і сукупності (N-2) шарів і т. д. Отже, при використані рекурентних співвідношень (1.49') задача двохвильової брегівської дифракції на N-шаровій структурі для заданих r_i, t_i зводиться до розв'язку алгебраїчних, а не диференціальних рівнянь.

Співвідношення (1.49) можна отримати із розв'язку хвильового рівняння (1.13), наприклад, з допомогою методу характеристичної матриці. Зауважимо, що співвідношення (1.49) дуже схожі з оптичними рекурентними співвідношеннями, які виникають при розгляді відбивання світла від поверхонь плоскопаралельної пластини. Проте дійсний зміст співвідношень (1.49) суттево інший: вони описують дифракційне відбивання і пропускання випромінювання. В цьому випадку, як відомо, поле в кристалі представляє собою складну суперпозицію із восьми хвиль. Крім того, на відміну від оптики тут можливі асиметричні схеми відбивання і, насамкінець, при дифракції .

Для кращої демонстрації дифракцію на двошаровій структурі можна представити у вигляді суми процесів багатократного перерозсіяння полів між шарами. Справді, розкладемо (1.49а) в ряд , не роблячи при цьому ніяких допущень відносно коефіцієнтів і :

(1.50)

Розглянемо кожну складову цього розкладу окремо (рис. 7). Перший член r₁ ряду в правій частині (1.50) представляє ККВ поля від верхнього кристалічного шару, друга складова - ККВ від нижнього шару з врахуванням двократного пропускання поля через верхній шар. Наступний член - представляє ККВ відбитого другим шаром, потім відбитого верхнім шаром знову в напрямку розповсюдження первинного променя і після цього знову відбитого другим шаром, тобто з врахуванням однократного перерозсіяння поля між шарами. Четвертий член представляє поле, двократно перерозсіяне між шарами, і т. д. Складова, яка представляє процес n-кратного перерозсіяння між шарами, має вигляд .

На основі рекурентних співвідношень (1.49) можна побудувати динамічну дифракцію в досконалому кристалі. Позначимо ККВ і ККП через r і t. Тоді, розглядаючи кристал як двошарову структуру із одного і сукупності (N-1) періодів, для брегівського відбивання від кристалічної пластини товщиною N періодів згідно (1.49б) маємо

(1.51а)

(1.51б)

Згідно (1.51а) безпосередні розрахунки, наприклад, для r_N послідовно при N=0, 1, 2… дають вирази:

(1.52)

де , а риска над r і t означає ККВ і ККП для одного атомного періоду при розсіянні з вектором дифракції (- ).

Введемо багаточлен U_N(n) степені N відносно змінної n, які згідно (1.52), визначимо наступним чином:

(1.53)

Багаточлени U_N=U_N(r), що визначаються за співвідношенням (1.53) є поліномами Чебешева другого роду

(1.54)

Із (1.52), (1.53) слідує шуканий вираз для r_N

(1.55a)

Аналогічно

(1.55б)

Щоб отримати явну залежність r_N i t_N від кута розсіяння, в (1.55) необхідно підставити явні вирази для . Виконуючи перетворення в (1.55) з точністю до членів другого порядку малості по Фур'є-компонентам поляризуємості середовища (або по і (1-t)) і відхиленню від кута Брега Dq, можна отримати відомий результат теорії Дарвіна для кристалу кінцевої товщини. Результат (1.55б) для t_N відповідає симетризованій по аккомодації a системі рівнянь Такагі. Вихідній системі рівнянь Такагі (1.25) відповідає розв'язок

(1.55в)

Рис.7. Представлення симетричного брегівського відбивання від двошарового кристалу як багатократного перерозсіяння поля між шарами 1 і 2.

Враховуючи аналітичне представлення (1.54) поліномів Чебишева (1.55а, в) можна переписати у вигляді

(1.55г)

(1.55д)

де

Використовуючи введену вище в (1.27а) нормовану відстройку y_В, фазу y в деякому наближенні можна представити так:

Крім того, можна показати, що .

Підстановка цих наближених виразів у (1.55г, д) приводить до відомих результатів теорії Дарвіна для ККВ і ККП шаром кінцевої товщини із N періодів. Представлені ККВ і ККП t (1.55г, д) є зручними для аналітичного дослідження розв'язків. З їх допомогою можна сказати, що ККВ і ККП t кристалу, який складається із двох шарів з однаковими характеристиками і товщинами N₁ i N₂, також описуються формулами типу (1.55г, д) ККВ і ККП одним періодом кристалічної гратки мають

;

; (1.55є)

де q₁ – кут падіння первинного променя, q₂ – кут виходу дифрагованого променя. Використовуючи (1.54) і (1.55а, б), отримаємо

(1.55ж)

(1.55з)

де всі позначення приведені в (1.27а, в). ККВ отримується із (1.55ж) при r=0, а ККП із (1.55з) при r=N. При симетричній дифракції |g^g|=g₀. ККВ від напівбезмежного кристалу можна отримати із (1.55а) граничним переходом N®¥. Однак, простіше це зробити виходячи із наступних міркувань, що добавка до напівбезмежного кристалу любого кінцевого числа періодів залишає кристал напівбезмежним. Значить, рекурентне співвідношення (1.51а) приймає вигляд

. (1.56)

Розв'язуючи це рівняння відносно r_¥ , отримаємо результат (1.47), в якому, проте, величина у тепер визначається так:

.

Якщо в у зберегти лише члени першого порядку малості, то розв'язок рівняння (1.56) перейде в розв'язок Дарвіна (1.47). На рис. 8 приведені кутові залежності коефіцієнта відбивання , що розраховувались за формулами (1.55ж) для GaAs різної товщини.

Рис.8. Криві симетричного брегівського відбивання від кристалів GaAs різних товщин. Довжина хвилі , відбивання (004).

Розглянемо, насамкінець, дифракцію на двошаровому кристалі, який складається із напівбезмежної досконалої підкладинки і спотвореного шару, що знаходиться на ній. Комплексний коефіцієнт відбивання від такої структури, згідно (1.49), має вигляд

Розкладаючи цей вираз в ряд отримаємо

Якщо верхній спотворений ряд відбиває кінематично, то цей ряд можна обірвати на третьому члені. Тоді видно, що перша ітерація (1.48в) розв'язку рівнянь Топена (1.45) має той же вид. Для симетричної брегівської дифракції, яка, як правило, використовується для дослідження приповерхневих шарів кристалу, ККВ r₁ визначається виразом (1.48б), в якому, однак, слід використовувати вираз для локальної аккомодації a_В(z) (1.46а), але з протилежним знаком перед другою складовою. КПП і в кінематичному наближенні (t< < l_ext) згідно (1.55в, д) рівні так, що їх добуток рівний одиниці:

.

Рекурентні формули (1.49) дають готовий рецепт зшивання полів на границі шарів, а рекурентна формула (1.49а) в певному змісті представляє точне рішення системи рівнянь Такагі (1.38) або рівнянь Топена (1.44).

При врахуванні аморфізації спотвореного кристалічного шару, яка виникає, наприклад, при іонній імплантації в показник експоненти розв'язку (1.48б) слід ввести додаткову складову (-W(z)), яка задає вид аморфізаційного профілю. Експоненту з цим показником можна розглядати як статичний фактор Дебая-Валера.

Результати (1.55г, д) можна розглядати як ККВ і ККП при дифракції на надгратці, яка складається з N періодів. Для цього слід лише замінити на відповідні ККВ і ККП для одного періоду надгратки. В загальному випадку їх розрахунок не простіший розв'язку задачі дифракції на надгратці. В цьому розумінні використання рекурентних співвідношень не дає ніяких переваг. Проте, якщо період модуляції малий в порівнянні з довжиною первинної екстинкції, що, як правило, має місце в твердотільних надгратках, що ці коефіцієнти можуть бути найдені в аналітичному вигляді для любих законів модуляції.