Пример выполнения задачи 7.1

Для рамы (рис. 7.2, а) построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил от действия внешней нагрузки, принимая жесткость на изгиб горизонтальных элементов в два раза больше вертикальных.

Решение. Определим степень кинематической неопределимости заданной системы: n_y=2 (узлы А и В, рис. 7.2, а), n_π =W=2У–C–C₀=2ּ 5–4––5=1 (рис. 7.2, а), n = n_у+ n_π =2+1=3. Введя дополнительные жесткие связи в узлы А и В и опорный стержень в узел C, препятствующим угловым (1, 2) и линейным (3) перемещениям узлов системы, получим основную систему (рис.7.2, б).

Запишем систему канонических уравнений метода перемещений:

r₁₁ Z₁+r₁₂ Z₂+ r₁₃ Z₃+R_1p=0,

r₂₁ Z₁+r₂₂ Z₂+ r₂₃ Z₃+R_2p=0,

r₃₁ Z₁+r₃₂ Z₂+ r₃₃ Z₃+R_3p=0.

Используя таблицу 7.2, построим в основной системе эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений =1 (i =1, 2, 3) и заданной нагрузки М_р (рис. 7.2 в, г., 7.3 а, б).

Вычислим коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений, применяя статический метод. Для определения коэффициентов, представляющих собой реактивные моменты, рассмотрим последовательно равновеси е узлов А и В. Записывая для них сумму моментов по эпюре (рис. 7.5 а, б), находим:

; ;

; .

Аналогично по эпюрам , и M _p (рис. 7.5, в, г, д, е, ж)

Вычисляем:

, , , ;

R_1p=0; R_2p=20 кНּ м.

Для определения коэффициентов и свободных членов, представляющих собой реактивные усилия во введенном опорном стержне (узел С), рассмотрим равновесие отсеченной части рамы на эпюрах , M _p. Спроектировав действующие силы на горизонтальную ось, находим (рис. 7.5, з – 7.5, л):

; ; ; R_3p=-25 кН.

Подставляя вычисленные значения коэффициентов r _ik и R _ip в систему уравнений (7.1) и решая ее, найдем неизвестные:

Строим окончательную эпюру изгибающих моментов, используя известную формулу сложения

.

Единичные эпюры изгибающих моментов , умноженные на значения неизвестных z_i, показаны на рис. 7.3, а, в, г. По эпюре M^ok (рис. 7.4, б) строится эпюра N (рис. 7.4, г).

Для проверки правильности построения эпюры M^ok рассмотрим равновесие узлов А и В (рис 7.5, м, н):

, .

Для проверки правильности построения эпюр Q и N рассмотрим равновесие всей рамы (рис. 7.6), для чего спроектируем внешнюю нагрузку и внутренние усилия на вертикальную и горизонтальную оси:

; .

Правильность построения окончательной эпюры М может быть проверена также примерами, которые применялись в методе сил. Но в методе перемещений более важной проверкой является выполнение равновесия моментов в жестких узлах. Невыполнение условия равновесия узлов () в окончательной эпюре свидетельствует о неправильном определении значений неизвестных.

Необходимо проверить правильность вычисления коэффициентов системы канонических уравнений. Эта проверка выполняется аналогично проверке коэффициентов уравнений при расчете конструкций методом сил. Для этого строится эпюра в основной системе алгебраическим суммированием всех единичных эпюр. Умножив эту эпюру последовательно на каждую из единичных эпюр, получим сумму коэффициентов при неизвестных в соответствующим уравнении.

Проверка грузовых коэффициентов сводится к вычислению

.

Умножением эпюры , от нагрузки в статически определимой системе (полученной из заданной системы или основной системы методом перемещений устранением лишних связей, в том числе обязательно тех, реакции которых определяются) на эпюру .

Контрольная работа №8