Относительный покой среды, давление на стенки

Равновесие жидкости в цилиндрическом сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси. Равновесие жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением. Силы давления жидкости на твердые поверхности. Равномерное давление на плоскую стенку. Равномерное давление на криволинейную стенку. Неравномерное давление на плоскую стенку. Неравномерное давление на криволинейную твердую поверхность

Движение жидкости, при котором отдельные её частицы не перемещаются друг относительно друга, называется относительным покоем или относительным равновесием. Это имеет место, когда на жидкость кроме гравитационной массовой силы действуют другие массовые силы, например сила инерции.

Относительный покой жидкости рассмотрим на примере движения сосуда, наполненного жидкостью, равноускоренно или равнозамедленно в горизонтальном направлении (рис. 5.1).

Если центр О системы координат разместить в произвольной точке сосуда, то проекции единичных массовых сил будут

(5.1)

Рис. 5.1

Уравнение (4.3), после замены Х, Y, Z, в соответствии с (5.1), и интегрирования примет вид

(5.2)

Произвольную постоянную С определяют из граничных условий. Так, при и давление равно p₀ (внешнее) и произвольная постоянная

(5.3)

После подстановки выражения (5.3) в уравнение (5.2) получаем формулу для определения давления в любой точке жидкости:

или после упрощений

(5.4)

При горизонтальном движении сосуда () уравнение (5.3) преобразуется в основное уравнение гидростатики

Уравнение поверхности равного давления () получают из зависимости (4.4), используя выражение (5.1) и граничные условия, принятые при определении давления, в виде

(5.5)

Из уравнения (5.5) получают выражение для определения угла наклона плоскостей равного давления к горизонту

Формулу для определения давления в любой точке жидкости можно получить в другом виде. Для этого, выбираем в жидкости точку М, и з которой проводим ось направленную перпендикулярно к свободной поверхности.

По оси направлена результирующая единичная массовая сила:

При выбранной системе координат проекции единичных сил будут

а дифференциальное уравнение (4.3) примет вид

(5.6)

После интегрирования уравнение (5.6) примет вид

. (5.7)

Произвольная постоянная С определится из условия, что при давление равно , т. е.

Следовательно, давление в любой точке жидкости можно определить по формуле:

(5.8)

Из рис. 1 видно, что произведение и уравнение (5.8) преобразуется в основное уравнение гидростатики

Уравнение (4.3) поверхности равного давления () при условии и

После интегрирования этого уравнения получают

(5.9)

Плоскости равного давления в жидкости, находящейся в горизонтально движущемся сосуде, представляют собой плоскости параллельные свободной поверхности жидкости.

Угол наклона свободной поверхности относительно горизонтальной плоскости

(5.10)

Гидростатическое давление представляет собой напряжение сжатия и измеряется в единицах напряжения . Если гидростатическое давление в точке равно то сила действующая на элементарную площадку включающую эту точку, и направлена по нормали к площадке

Давление жидкости на конечную площадь представляет собой равнодействующую всех элементарных сил действующих на элементарные площадки.

Пусть, имеем ёмкость с горизонтальным дном. Гидростатическое давление во всех точках дна будет одинаково и независимо от формы резервуара

где h – глубина воды в резервуаре.

Следовательно, элементарная сила не зависит от формы резервуара

(5.11)

Полная сила давления жидкости на всю площадь дна как равнодействующая параллельных элементарных сил определится из уравнения

= (5.12)

Сила состоит из двух частей: сила от атмосферного давления (), которое передаётся жидкостью по закону Паскаля, и сила избыточного давления (), зависящая от веса жидкости.

Следовательно, избыточное давление жидкости на дно ёмкости равняется весу столба жидкости с основанием, равным площади дна, и с высотой, равной глубине жидкости в резервуаре. Сила давления на горизонтальное дно одинаковой площади, одинакова независимо от формы резервуара.

Сила давления жидкости на наклонную поверхность

Определим силу давления жидкости на площадь , лежащую под углом к горизонту (рис. 2).

Cила давления жидкости на элементарную площадку

(5.12)

где – глубина погружения центра тяжести площадки .

Всю площадь стенки можно рассматривать состоящей из элементарных площадок , на каждую из которых действует сила давления, определяемая по аналогичной формуле и непрерывно изменяющаяся по мере изменения глубины h, но всегда направленная перпендикулярно плоскости стенки. Суммарная сила давления на всю боковую стенку будет равна сумме сил, действующих на элементарные площадки, т. е. интегралу уравнения (5.13)

(5.14)

Учитывая (рис. 5.2), что , интеграл в уравнении (5.14) можно представить в виде

(5.15)

Рис. 5.2

Интеграл является статическим моментом площади и равняется произведению площади на расстояние от свободной поверхности до центра тяжести этой площади.

Тогда

(5.16)

а уравнение (5.14) можно представить в виде

. (5.17)

Следовательно, сила давления на плоскую стенку равна произведению смоченной площади стенки на давление в её центре тяжести.

Для полного представления о воздействии силы давления жидкости на стенку кроме величины направления нужно знать ещё и точку приложения равнодействующей элементарных сил давления. Считая давление на свободной поверхности жидкости равным атмосферному, определим на каком расстоянии от свободной поверхности находится точка () приложения равнодействующей сил манометрического давления на плоскую поверхность с площадью . Точку и называют центром давления.

Рассматриваемая площадка имеет вертикальную ось симметрии. Поэтому центр давления будет расположен на оси симметрии и для его определения, достаточно найти расстояние

Используем положение теоретической механики о том, что момент силы результирующей равен сумме моментов сил составляющих эту результирующую относительно одной и той же оси.

Взяв за ось моментов ось , расположенную на свободной поверхности жидкости, имеем

(5.18)

Учитывая, что равно атмосферному давлению, действующему на стенку как со стороны жидкости, так и с противоположной стороны, сила а , уравнение (5.18) перепишем в виде

(5.19)

где момент инерции смоченной площади относительно свободной поверхности.

Из уравнения (2.38) получаем

(5.20)

Момент инерции относительно произвольной оси, параллельной центральной,

где момент инерции смоченной площади относительно оси, проходящей через центр тяжести площади, параллельно данной оси.

Подставив значение в уравнение (5.20), получим

(5.21)

Из уравнения (5.21) следует, что центр давления всегда расположен ниже центра тяжести на величину отношения момента инерции площади относительно центральной оси () к статическому моменту той же площади относительно свободной поверхности.

Сила давления жидкости на криволинейные поверхности

Для криволинейной поверхности элементарные силы давления жидкости, оставаясь, также как для плоской поверхности, каждая перпендикулярной соответствующему элементу площади, уже не будут параллельными и в общем случае могут не пересекаться в одной точке, а значит и не иметь равнодействующей.

В отдельных случаях элементарные силы давления на криволинейные поверхности могут приводится к одной равнодействующей силы. Так, например, для части шаровой поверхности элементарные силы давления будут направлены по радиусам, пересекутся в центре сферы, и дадут одну равнодействующую силу. Точно также к одной силе сведутся элементарные силы давления жидкости на цилиндрические поверхности.

Определим аналитическое выражение силы давления жидкости на криволинейную поверхность расположенную под свободной поверхностью (рис. 5.3)

Сила давления на эту поверхность определяется её составляющими по осям координат

.

Выделим на поверхности около произвольной точки элементарную площадку , на которую действует элементарная сила давления и определим горизонтальную проекцию этой силы на ось Ox

где угол между направлением силы и осью Ox

Учитывая, что сила направлена по нормали к , а ось Ox по нормали к координатной плоскости , то произведение является проекцией элементарной площадки на координатную плоскость

Следовательно,

Отсюда следует, что есть элементарная сила давления, действующая на плоскую площадку расположенную на той же глубине под свободной поверхностью, что и элементарная криволинейная площадка

Для определения берут интеграл от , по поверхности

где – глубина погружения центра тяжести; проекция поверхности на координатную плоскость .

Аналогично определим и другую горизонтальную составляющую:

Вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную поверхность

Но интеграл есть объём призмы с вертикальной образующей (рёбрами), ограниченной снизу самой криволинейной поверхностью, а сверху – её проекцией на плоскость свободной поверхности.

Следовательно, вертикальная составляющая силы

где объём призмы, а вес жидкости в объёме призмы.

Сама призма называется телом давления, объём объёмом тела давления, а вес весом тела давления.

Следовательно, горизонтальные составляющие силы давления жидкости на криволинейную поверхность равны силам давления на соответствующие вертикальные проекции криволинейной поверхности:

(5.22)

которые проходят через центры давления соответствующих проекций площади, а вертикальная составляющая численно равна весу тела давления

(5.23)

Вертикальная составляющая проходит через центр тяжести тела давления и направлена в зависимости от конкретных условий задачи вверх или вниз.

Направление силы определяют по формулам: