Примеры решение задач.

Задача 1. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженный в жидкость. Отраженный от пластины свет составляет угол j =97⁰ с падающим пучком (рис. 51). Определить показатель преломления n₁ жидкости, если отраженный свет полностью поляризован.

Дано:

j=97⁰

n₁ -?

Рис. 5.1

Закона Брюстера: свет, отраженный от диэлектрика, полностью поляризованн в том случае, если тангенс угла падения равен относительному показателю преломления сред, то есть:

tgі_б= n₂₁

где n₂₁ - относительный показатель преломления второй среды (стекла) относительно первого (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отношению абсолютних показателей преломления этих сред:

tgі_б= n₁/ n₂

Соответственно условию задачи, отраженный луч возвращен на угол относительно падающего луча. Поскольку угол падения равен углу отражения, то і_б= j/2 и, итак,

tg(j /2)= n₂/ n₁

откуда

n₁= n₂/ tg(j/2)

показатель преломления стекла n₂ берем из табличных данных, он равен 1, 5.

n₁=1, 5/ tg(97/2)=1, 33

Ответ: показатель преломления жидкости равен 1, 33.

Задача 2. Два Ніколя N₁ и N₂ расположенные так, что угол между пло-щинами колебаний составляет 60⁰. При прохождении света через любого с николей потери на отражение и поглощение составляют 5%. Найти во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении через один и через два николя.

Дано:

j=60⁰

k=5%

І₀/І₁-? І₀/І₂-?

Рис.5.2

Естественный свет, падая на грань призмы николя (рис. 5.2), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два луча: обыкновенный (0) и необыкновенный (е).

Оба луча полностью поляризованные и интенсивность их одна-кова. Плоскости колебаний этих лучей указанные на рисунке 5.2. Не-обыкновенный луч проходит через призму, уменьшая интенсивность на величину потери интенсивности в николі N₁, то есть

I₁=1/2I₀ (1-k),

где k=0, 05 (5%) относительная потеря интенсивности света в призме; І₀ - интенсивность естественного света, который падает на первый николь.

Относительное уменьшение интенсивности после прохождения первого николя N₁ будет:

Для определения интенсивности І₂ после прохождения николя N₂, воспользуемся законом Малюса

І₂=І₁cos²j

где j - угол между плоскостью колебаний в поляризованного света и плоскостью колебаний, которое пропускается николем N₂. Учитывая потери света в втором николе и выражения для интенсивности І₁ находим:

I₂=I₁cos² (1-k)=1/2I₀(1-k)² cos²j

Относительное уменьшение интенсивности света, после прохождения света через оба николя:

I₀/I₂=I₀/[1/2I₀(1-k)²cos² ]=2/[(1-k)²cos² ]

I₀/I₂=2/[(1-0.05)²cos²60⁰=8.86

Ответ: интенсивность света уменьшается при прохождении первого Ніколя в 2, 1, через оба николя в 8, 86.

Задача 3. Пучок частично-поляризованного света рассматривается через николь. Сначала николь установленн так, что его плоскость пропускания параллельна плоскости колебаний линейно-поляризованного света. При повороте николя на угол j=60⁰ интенсивность света уменьшилась в k=2 раза. Определить отношения І_e/І_n - интенсивность естественного и поляризованого света, которые составляют еще частично-поляризованный свет, а также степень поляризации Р пучка света.

Дано:

j=60⁰

k=2

I_e/I_n-?

Р-?

Отношение интенсивности естественного света І_e к интенсивности поляризованного света I_n найдем из следующих соображений. При начальном положении николя он целиком пропустит линейно-поляризованный свет и половину интенсивности естественного света. Общая интенсивность пропущенного при этому света:

І₁= I_n+1/2І_е

При втором положении николя интенсивность пропущенного поляризованного света определится по закону Малюса, а интенсивность пропущенного естественного света, как и в первом случае, будет равняться половине интенсивности естественного света, который падает на николь. Общая интенсивность в втором случае:

І₂= I_ncos² +1/2I_e

Соответственно условию задачи

I₁=kI₂

или

I_n+1/2І_е=k(I_ncos² +1/2I_e)

Подставив сюда значения угла, k получим

I_e/I_n=1 чи I_e=I_n

то есть интенсивность естественного и поляризованного света в за-данном пучке равны между собою.

Степень поляризации частично-поляризованного света определяется соотношением:

Р=(I_max-I_min)/(I_max+I_min) (1)

где І_max, І_mіn - максимальная и минимальная интенсивност света, пропущенного через николь.

Максимальная интенсивность I_max=I₁=I_n+1/2I_e

и потому что I_e=I_n I_max=3/2I_n

Минимальная интенсивность отвечает положению николя, при котором плоскость пропуска его перпендикулярная плоскости колебаний линейно-поляризованного света. При таком положении николя поляри-зованный свет будет полностью погашен и через николь пройдет только половина интенсивности естественного света. Общая интенсивность виразиться равенством:

I_min=1/2І_е=1/2І_n

Подставляя в формулу (1) получаем

Р=(3/2I_n-1/2I_n)/(3/2I_n+1/2I_n)=1/2

Ответ: интенсивности в поляризованном и частично-поляризованном свете равные между собою Іe=І_n; степень поляризации его 0, 5.

Задача 4. Определить разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей, если наименьшая толщина кристаллической пластинки в четверть волны для длины волны l ==530 нм составляет 13, 3 мкм.

Дано:

=530 нм

d_min=13.3 мкм=13, 3*10^-6 м

(n₀-n_e) -?

Пластинкой в четверть волны называется вырезанная параллельно оптическая пластинка, для которой оптическая разность хода:

Δ =(n₀-n_e)d= (m+1/4)

где n₀, n_e - показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей, причем знак плюс отвечает отрицательным кристаллам, а знак минус - положительным. При прохождении через эту пластинку в направления, перпендикулярному оптической оси, обыкновенный и необыкновенный лучи, не изменяя своего направления, приобретают разность хода, равную l/4.

Минимальная толщина пластинки в четверть волны отвечает m=0. Тогда

d_min(n₀-n_e)= l₀/4

откуда

(n₀ - n_e)= l₀/4d_min (n₀-n_e)=5, 3∙ 10^-7/4∙ 13, 3∙ 10^-6

(n₀-n_e)=0, 01

Ответ: разность показателей преломления равняется 0, 01.

Задача 5. Пластинка кварца толщиной d₁=1мм, вырезанная перпендикулярно оптической оси кристалла, вращает плоскость поляризации монохроматического света определенной длины волны на угол j =20⁰. Определить: 1) которое должна быть толщина d₂ кварцевой пластинки, помещенной между двумя " параллельными" николями, чтобы свет был целиком погашенный; 2) длину трубки с раствором сахара с массовой концентрацией С=0, 4 кг/л, которую надо поместить между николями для получения того же эффекта? Удельное вращение [α ] раствора сахара равняется 0, 665 град/(г∙ кг∙ г^-3).

Дано:

d₁=1 мм=10^-3 м

j=20⁰

j=90⁰

С=0, 4 кг/л=0, 4∙ 10³ кг/м³

[α ]=0, 665 град/(м∙ кг∙ м^-3)

d₂ -? l -?

Угол поворота плоскости поляризации кварцевой пластинки определяется соотношением

j = α d

Пользуясь этой формулой, выразим искомую толщину d₂

j₁= α d₁

j₂= α d₂

d₂= j₁/j₂ d₁=90/20∙ 10^-3=4, 5∙ 10^-3 м^-3

Длину трубки с сахарным раствором найдем с соотношения

j₂ = [α ]С l, что

выражает угол поворота плоскости поляризации раствором сахара, где l - толщина раствора сахара (принимается равной длине трубки). Отсюда получим

l = j₂ /([α ] С

l =90/0, 665∙ 0, 4∙ 10³=0, 38 м

Ответ: толщина кварцевой пластинки 4, 5 гг; длина трубки с сахарным раствором 38 см.