Примеры решения задач. Задача 1.В схеме (рис. 4.1) внутреннее сопротивление источника с э.д.с

Задача 1. В схеме (рис. 4.1) внутреннее сопротивление источника с э.д.с. 1 В равно 0, 1 Ом. Сопротивления R ₁, R ₂ и R ₃ соответственно равны 5 Ом, 4 Ом и 3 Ом. Найти токи, текущие через сопротивления R ₁ и R ₂.

Дано: ε = 1 В r = 0, 1 Ом R 1 = 5 Ом R 2 = 4 Ом R 3 = 3 Ом	Рис. 4.1
I 1 -? I 2 -?

Решение.

Рассмотрим, каким образом соединены сопротивления в данной цепи и заменим эти соединения на эквивалентные сопротивления. Сопротивления R ₂ и R ₃ соединены последовательно, их можно заменить эквивалентным сопротивлением

(см. (4.9)). (4.11)

Тогда исходная цепь примет вид, показанный на рис. 4.2.

Так как R ₂ и R ₃ соединены последовательно, сила тока на сопротивлениях R ₂, R ₃ и R ₂₃ будет одинакова и равна I ₂.

Сопротивления R ₁ и R ₂₃ на рис. 4.2 соединены параллельно. Заменим их эквивалентным сопротивлением R ₁₂₃ (см. (4.10.)):

(4.12)

Рис. 4.2

Сила тока через это сопротивление:

. (4.13)

Запишем закон Ома для замкнутой цепи (рис.4.2) после замены сопротивлений R ₁ и R ₂₃ на эквивалентное R ₁₂₃:

(4.14)

Рассмотрим напряжение на сопротивлениях R₁ и R₂₃. Из закона Ома для однородного участка (4.3) следует:

(4.15)

. (4.16)

А так как эти участки соединены параллельно,

(4.17)

С учётом (4.13) – (4.17) составим систему уравнений:

Выразим из (4.20), подставим в (4.18) и приравняем с (4.19):

. (4.21)

Отсюда

С учётом (4.11) и (4.12):

Силу тока через резистор R ₂ найдём из (4.20):

или с учётом (4.11):

Подставим числовые значения:

Ответ: = 0, 19 (А),

= 0, 27 (А).

Задача 2. Потенциометр с сопротивлением R = 100 Ом, э.д.с. ε которого равна 150 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом (рис. 4.3). Определить показание вольтметра с сопротивлением R_В = 500 Ом, соединенного одной из клемм потенциометра подвижным контактом, установленным посередине потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключенном вольтметре?

Дано: R = 100 Ом ε = 150 В r = 50 Ом RВ = 500 Ом	Рис. 4.3
U 1, U 2 -?

Решение.

Показание U ₁ вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис.4.3), определяются по формуле:

(4.23)

где I ₁ – cила тока в неразветвлённой части цепи; R ₁ – сопротивление параллельно соединённых вольтметра и половины потенциометра.

Силу тока I₁ найдём по закону Ома для всей цепи:

(4.24)

где R – сопротивление внешней цепи.

Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений:

(4.25)

Сопротивление R ₁ параллельного соединения может быть найдено по формуле откуда

Подставив в эту формулу числовые значения величин и произведя вычисления, найдём

Ом.

Подставив в выражение (4.24) правую часть равенства (4.25), определим силу тока:

А.

Если подставить значение I ₁ в R ₁ в формулу (4.23), то найдём показания вольтметра:

U ₁ = 46, 9 В.

Разность потенциалов между точками А и В при отключённом вольтметре равна произведению силы тока I ₂ на половину сопротивления потенциометра, т.е. , или

Подставив сюда значения величин ε, R и r, получим

U ₂ = 50 В.

Ответ: = 46, 9 В; = 50 В.

Задача 3. Сила тока в проводнике сопротивлением R=12 Ом равномерно убывает от I₀=5A до I=0 в течении времени t=10c. Какое количество теплоты Q выделяется в этом проводнике за указанный промежуток времени.

Дано: R=12 Ом I0=5A I1=0 t1=10cек	Решение: 1.Выполним чертеж графика изменения силы тока со временем:
Q(дис)-?

2. Составим уравнение прямой изменения силы тока от времени:

3. Выделим произвольную точку на прямой I=I(t), запишем элементарное количество тепла, выделяющегося в проводнике сопротивлением R за время

4. Найдем искомое количество тепла выделившегося на сопротивлении за время :

Ответ:

Задача 4. Источники тока с э.д.с. ε ₁ = 10 В и ε ₂ = 4 В включены в цепь, как показано на рис. 4.4. Определить силы токов, текущих в сопротивлениях R ₂ и R ₃, если R ₁ = 2 Ом,
R ₂ = R ₃ = 4 Ом. Внутреннее сопротивление источников тока r ₁ = 0, 5 Ом, r ₂ = 0, 2 Ом.

Дано: ε 1 = 10 В ε 2 = 4 В R 1 = 2 Ом R 2 = R 3 = 4 Ом r 1 = 0, 5 Ом r 2 = 0, 2 Ом	Рис. 4.4
I 2 -? I 3 -?

Решение.

Цепь, изображённая на рис. 4.4, является разветвлённой, т.к. имеет два узла (т. А и т. В). Для расчёта сил токов в таких цепях используют правила Кирхгофа. Направления токов на участках с сопротивлениями R₁, R₂ и R₃ покажем на рис. 4.4 произвольно. Запишем первое правило Кирхгофа (4.7.) для узла А:

. (4.26)

Чтобы записать второе правило Кирхгофа, выберем направление обхода контуров ABKN – по часовой стрелке. В уравнении (4.26) три неизвестных. Составим ещё два уравнения по второму правилу Кирхгофа и решим систему. Если направление тока совпадает с направлением обхода, произведение IR берётся со знаком «+», в противном случае – со знаком «-». Значение э.д.с. считается положительным, если при обходе контура внутри источника осуществляется переход от минуса к плюсу. В противном случае э.д.с. входит в уравнение со знаком «-». С учетом вышесказанного и (4.8) для контуров ACDB и ABKN соответственно получим:

; (4.27)

(4.28)

Подставим в уравнения (4.27) и (4.28) числовые значения и запишем систему:

Найдём силы токов методом определителей (детерминантов). Для этого перепишем систему в виде:

Искомые значения сил токов будут равны:

(4.29)

где Δ – определитель системы уравнений; и – определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя Δ столбцами, составленными из свободных членов трёх вышеприведённых уравнений. Находим:

-37, 3

14

-52

Отсюда получим I ₂ ≈ -0, 375 А; I ₃ ≈ 1, 39 А.

Ответ: I ₂ ≈ -0, 375 А (знак «-» означает, что действительное направление тока противоположно направлению, показанному в условии); I ₃ ≈ 1, 39 А.

Задача 5. К амперметру с сопротивлением 300 Ом присоединён шунт, понижающий чувствительность амперметра в 10 раз. Какое сопротивление надо подключить в цепь последовательно, чтобы присоединение шунта не изменило сопротивление исходной цепи?

Дано: RА = 300 Ом Im ´ = nIm n = 10	Решение. а) б) Рис. 4.5
Rx -?

На рис. 4.5 изображена цепь до (а) и после (б) присоединения шунта. До присоединения шунта максимальное отклонение стрелки амперметра вызвал ток в цепи силой I_m, после присоединения - в п раз больший . При этом непосредственно через амперметр сила тока не изменилась (см. рис. 4.5, б). Следовательно:

где I_ш – сила тока через шунт.

Отсюда:

(4.30)

Так как шунт присоединяется к амперметру параллельно, то их общее сопротивление согласно (4.10):

где R_ш – сопротивление шунта, R_А – сопротивление амперметра. Отсюда:

. (4.31)

Сопротивление R_х присоединено к участку с сопротивлением R_{А, ш} последовательно, поэтому согласно требованиям условия задачи и в соответствии с
рис. 4.5, а и 4.5 б:

Отсюда, с учётом (4.31):

. (4.32)

Так как шунт и амперметр соединены параллельно, то напряжения на них равны:

(4.33)

или с учётом закона Ома (4.3)

.

Выразим отсюда R_ш с учётом (4.30):

Подставим (4.33) в (4.32):

Подставим числовые значения:

Ом.

Ответ: = 270 Ом.

Задача 6. Электрическая цепь содержит N одинаковых аккумуляторов, каждый из которых имеет внутреннее сопротивление r. Внешняя цепь потребляет одинаковую мощность, как при последовательном, так и при параллельном соединении аккумуляторов. Найдите сопротивление внешней цепи.

Дано: N r	Решение. Мощность, потребляемая во внешней цепи, равна: Для того, чтобы найти сопротивление внешней цепи, используем условие равенства мощностей, а, следовательно, и сил токов при параллельном и последовательном включении аккумуляторов.
R -?

Если аккумуляторы соединены последовательно, то их общее сопротивление согласно (4.9):

(4.34)

В этом случае по закону Ома для замкнутой цепи (4.4):

(4.35)

где - суммарная э.д.с. батареи аккумуляторов, ε – э.д.с. одного аккумулятора.

При параллельном включении э.д.с. батареи будет равна ε, а суммарное сопротивление аккумуляторов (4.10):

(4.36)

Тогда закон Ома (4.4) будет иметь вид:

. (4.37)

Приравниваем I ₁ и I ₂:

. (4.38)

Отсюда получим: R = r.

Ответ: R = r.