Нормальна форма Жордана

Нормальні форми матриці

Як відомо, до діагонального вигляду зводиться матриця не кожного лінійного перетворення. Тому виникає питання про інший канонічний вигляд, до якого можна звести матрицю довільного лінійного перетворення. В алгебраїчно замкненому полі, в тому числі і комплексному просторі, канонічним виглядом довільної матриці є так звана жорданова нормальна форма матриці. Розглянемо її.

Жордановою кліткою називається квадратна матриця вигляду

,

в якій на головній діагоналі знаходиться одне і те ж число , над головною діагоналлю – всюди число , а всі решта елементи – нулі.

Наприклад: , , – жорданові клітки 1, 2 і 3 порядків.

Легко видно, що характеристичний многочлен | - | перетворення , матрицею якого є жорданова клітка порядку , дорівнює . Він має єдине власне значення кратності , тому всі його власні вектори колінеарні (“спів- напрямлені” з e ₁), тобто не утворюють лінійно незалежної системи. Це означає, що матриця перетворення при ні в якому базисі не зводиться до діагональ-ного вигляду (не існує власного базису).

Жордановою матрицею називається матриця вигляду

,

де – жорданові клітки деяких (не обов’язково різних) порядків, всі інші клітки заповнені нулями. Числа є власними значеннями перетворення з матрицею .

Діагональні матриці є частинним випадком жорданових матриць (у них жорданові клітки мають порядок 1).

Квадратні матриці порядку , елементами яких є многочлени довільних степенів від однієї невідомої з коефіцієнтами із поля Р, називаються многочленними матрицями або -матрицями.

- матриці А()та В() називаються еквівалентними, якщо від матриці А() до матриці В() можна перейти шляхом скінченої кількості елементарних перетворень.

Канонічною -матрицею називається -матриця, яка володіє властивостями:

1) ця матриця є діагональною, тобто має вигляд ;

2) всякий многочлен е_і(λ) націло ділиться на многочлен е_і-1(λ);

3) кожний многочлен е_і(λ) є зведеним.

Теорема 1. Будь-яка -матрицяз допомогою елементарних перетворень зводиться до канонічного вигляду, причому однозначно.

Доведення.

Нехай задана довільна -матриця А() порядку . Зафіксуємо деяке число k і відшукаємо всі мінори k -го порядку матриці А(). Отримаємо скінченну систему многочленів від . НСД цієї системи многочленів (у зведеному вигляді) позначимо через d_к(). Таким способом отримаємо однозначно визначену множину многочленів

d₁(), d₂(),, d_n() (1).

Якщо матриця А() має ранг r, то d_r+1() = = d_n() = 0.

d_к() не змінюється при виконанні в матриці А() елементарних перетворень.

Отже, всім -матрицям, еквівалентним матриці А(), відповідає один і той же набір многочленів (1), тому для знаходження цих многочленів скористаємось канонічною (найпростішою) матрицею. Ясно, що мінор k -го порядку, який знаходиться в лівому верхньому куті матриці, дорівнює добутку е₁(λ) е₂(λ) ···е_к(λ) (2).

Якщо, далі, ми беремо в канонічній матриці мінор k -го порядку, який знаходиться в рядках з номерами i₁, i₂,... i_k (де i₁ ‹ i₂ ‹…‹ i_k) і в стовпчиках з тими ж номерами, то цей мінор дорівнює добутку , який ділиться на (2), оскільки із із і т. д.

Нарешті, якщо в канонічній матриці взято мінор k -го порядку, в якому номери рядків і стовпчиків не співпадають, то цей мінор містить нульовий рядок і тому дорівнює нулю. У підсумку випливає, що добуток (2) і буде НСД всіх мінорів k -го порядку канонічної матриці, а, значить, і вихідної матриці А().

d_k(λ) = е₁(λ) е₂(λ) ···е_к(λ), k=1, 2, n. (3).

Ясно, що d_k-1(λ) = е₁(λ) е₂(λ) ···е_к-1(λ).

Із єдиності набору многочленів (1) випливає однозначність визначення многочленів е_k(λ).

Нехай ранг матриці А() дорівнює r. Тоді d_r(λ) ≠ 0, але d_r+1() = 0, звідки

е_r+1 (λ) = 0. (із 3). Звідси, якщо r ‹ n, то е_r+1 (λ) = е_n (λ) = 0, З другого боку, якщо k ≤ r, то (4).

Ми отримали спосіб безпосереднього знаходження многочленів е_k(λ), які називаються інваріантними множниками матриці А(). ▲

Мінімальним многочленом матриці називається зведений незвідний многочлен, для якого ця матриця є коренем.

Знайдемо канонічний вигляд для характеристичної матриці довільної жорданової матриці порядку . Спочатку зробимо це для характеристичної матриці однієї жорданової клітки порядку .

Нехай є НСД мінорів порядку i матриці I зведеними многочленами від λ. Зокрема, .

Обчислюючи визначник цієї матриці і пам’ятаючи, що старший коефіцієнт многочлена має бути рівним , одержуємо, що . З другого боку, серед мінорів -го порядку матриці є мінор, рівний , а саме той, що отримується після закреслення першого стовпця і останнього рядка цієї матриці. Тому . Звідси випливає, що канонічним виглядом для клітки є така -матриця -го порядку:

. (5)

Теорема 2. Якщо многочлени із кільця – попарно взаємно прості, то має місце така еквівалентність:

~ .

Доведення:

Скористаємось методом математичної індукції.

Ясно, що достатньо розглянути випадок .

Оскільки многочлени – взаємно прості, то в кільці існують многочлени і , такі що . Тому

~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ,

що й треба довести.▲

Розглянемо тепер характеристичну матрицю

(6)

для жорданової матриці . Тут – одинична матриця того ж порядку, що й клітка .

Нехай жорданові клітки матриці відносяться до таких різних чисел: , де .

Нехай до числа відноситься жорданових кліток і нехай порядки цих кліток (якщо їх розмістити в незростаючому порядку) будуть . (*)

Застосовуючи елементарні перетворення до тих рядків і стовпців матриці, які проходять через клітку цієї матриці, ми не будемо зачіпати, звичайно, інших діагональних кліток. Тому в матриці (6) можна за допомогою елементарних перетворень кожну клітку замінити відповідною канонічною кліткою вигляду (5). Іншими словами, матриця еквівалентна діагональній матриці, на діагоналі якої (крім деякої кількості одиниць) знаходяться також деякі многочлени, які відповідають всім жордановим кліткам :

(7)

Ми не вказуємо, на яких місцях на діагоналі знаходяться ці многочлени, бо в будь-якій діагональній матриці діагональні елементи можна довільно переставляти з допомогою перестановок рядків і однойменних стовпців.

Нехай – найбільше серед чисел . Позначимо через добуток многочленів, які знаходяться в -му стовпці таблиці (7) :

. (8)

Якщо при цьому в -му стовпці є порожні місця (для деяких може виявитись, що ), то відповідні множники в (8) вважаються рівними . Оскільки числа за умовою різні, то степені лінійних двочленів, що знаходяться в -му стовпці таблиці, попарно взаємно прості. Тому (на основі теореми 2) вони з допомогою елементарних перетворень можуть бути замінені в розглядуваній діагональній матриці їх добутком і деякою кількістю одиниць. Проробивши це для всіх , одержимо:

.

Це і буде шуканий канонічний вигляд характеристичної матриці . Дійсно, старші коефіцієнти всіх многочленів, які знаходяться на головній діагоналі, рівні , і кожний з цих многочленів націло ділиться на попередній із-за умови (*).

Приклад: Знайти канонічний вигляд характеристичної до матриці J.

Нехай .

Для цієї жорданової матриці 9-го порядку таблиця многочленів має вигляд:

.

Тому інваріантними множниками матриці будуть многочлени , тоді як .

Шуканий канонічний вигляд .

Із означення подібності матриць і з побудови канонічного вигляду характеристичної до жорданової матриці випливає очевидний висновок: дві жорданові матриці подібні тоді і тільки тоді, якщо вони складаються із одних і тих же жорданових кліток (тобто відрізняються тільки розміщенням цих кліток вздовж головної діагоналі).

Із цього твердження випливає:

1) жорданова нормальна форма визначається для матриці однозначно (з точністю до розміщення жорданових кліток вздовж головної діагоналі);

2) жорданова матриця, подібна до діагональної матриці, сама діагональна;

3) дві діагональні матриці подібні тоді і тільки тоді, якщо вони отримуються одна з одної перестановкою чисел, які знаходяться на головній діагоналі.

Необхідна і достатня умова зведення матриць до жорданової нормальної форми

Теорема 3. Кожна квадратна матриця порядку з елементами з поля зводиться в полі до жорданової нормальної форми тоді і тільки тоді, якщо всі характеристичні корені матриці знаходяться в полі .

Доведення: