Достатність.

Нехай всі характеристичні корені матриці знаходяться в полі . Нехай нерівними інваріантними множниками матриці будуть

(9).

Тоді . Дійсно, визначники матриці і її канонічної матриці можуть відрізнятися один від одного тільки сталим множником, який насправді дорівнює , оскільки саме такий старший коефіцієнт характеристичного многочлена . Таким чином:

· серед многочленів (9) немає рівних 0;

· сума степенів цих многочленів рівна ;

· всі вони розкладаються над полем на лінійні множники (тому, що за умовою многочлен володіє таким розкладом).

Нехай (8) будуть розклади многочленів (9) в добутки степенів лінійних множників. Назвемо елементарними дільниками многочлена відмінні від степені різних лінійних двочленів, які входять в його розклад (4), тобто . Елементарні дільники всіх многочленів (9) називаються елементарними дільниками матриці . Випишемо їх у вигляді таблиці (7).

Утворимо тепер жорданову матрицю порядку , складену із жорданових кліток, які визначаються так: кожному елементарному дільнику матриці ставимо у відповідність жорданову клітку порядку , яка відноситься до числа . Очевидно, що нерівними 1 інваріантними множниками матриці теж будуть многочлени (9) і тільки вони. Тому матриці і еквівалентні і, значить, матриця подібна жордановій матриці .▲

Наприклад: Нехай дана матриця . Зводячи звичайним способом матрицю до канонічного вигляду, одержимо, що нерівними інваріантними множниками цієї матриці будуть многочлени і . Ми бачимо, що матриця зводиться до жорданової нормальної форми навіть в полі раціональних чисел. Її елементарними дільниками є многочлени , а тому жордановою нормальною формою матриці є матриця .

Необхідна і достатня умова зведення матриць до діагонального вигляду

На основі отриманих результатів може бути сформульована, нарешті, необхідна і достатня умова звідності матриць до діагонального вигляду.

Теорема 4. Матриця порядку з елементами з поля зводиться до діагональ-ного вигляду тоді і тільки тоді, якщо усі її характеристичні корені (або всі корені останнього інваріантного множника її характеристичної матриці) знаходяться в полі , причому серед цих коренів немає кратних.

Доведення:

Дійсно, звідність матриці до діагонального вигляду рівносильна звідності до такого жорданового вигляду, всі жорданові клітки якого мають порядок . Іншими словами, всі елементарні дільники матриці повинні бути многочленами 1-го степеня. Оскільки, однак, всі інваріантні множники матриці являються дільниками многочлена , то остання умова рівносильна тому, що всі елементарні дільники многочлена мають степінь , що й треба довести.▲