Метод серединных точек.

Геометрический вывод: Здесь поиск y(i+1) (i=0, 1, …, n-1) ведется в направлении, характерном для интегральных кривых в точках, абсциссами которых являются середины отрезков [x(i); x(i+1)]. Сначала с помощью метода Эйлера отыскивают промежуточную точку с координатами: x(i+1/2)=x(i)+h/2, y(i+1/2)=y(i)+f(i)*h/2, где f(i)=f(x(i), y(i)) (7). Затем находят число f(i+1/2)=f(x(i+1/2); y(i+1/2)) (8), определяющее уточненное направление, и берут y(i+1)=y(i)+hf(i+1/2) (9).

Вычисление y(i) по формулам (7)-(9) отражено на рисунке.

Серединной точкой здесь является A(1/2). Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку, равен f(1/2). Формула (9) дает ординату y(i) точки A1, лежащей на параллельной этой касательной прямой, исходящей из A0. По методу Эйлера в качестве y(i) получили бы ординату точки ͞ A1.

Аналитический вывод алгоритма вычислений методом серединных точек, так же как и в случае метода Эйлера-Коши, осуществляется с помощью квадратичного усечения формулы Тейлора.

Пусть имеется соотношение (5). Вычислим x(1/2)=x0+h/2 и применим к производной φ ’ теорему Лагранжа: φ ’(x(1/2))=φ ’(x0)+h/2*φ ’’(c*) (c* из (x0; x(1/2)).

Поскольку вторая производная φ ’’ непрерывна, заменим φ ’’(c*) на φ ’’(x0). Тогда получим приближенное равенство φ ’’(x0)≈ 2/h* (φ ’(x(1/2))-φ ’(x0)), правую часть которого подставим в (5) вместо φ ’’(x0). После упрощений будем иметь φ (x1)≈ y0+hφ ’(x(1/2)). (10)

Чтобы выразить φ ’(x(1/2)) приближенно через значение функции f, вычислим

y(1/2)=y0+h/2* f(x0, y0).

Обозначив через ψ решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию ψ (x(1/2))=y(1/2), на основе тех же рассуждений, что были использованы в предыдущем пункте, получаем φ ’(x(1/2))≈ ψ ’(x(1/2))=f(x(1/2), y(1/2))=f(1/2).

Теперь в (10) заменим φ ’(x(1/2)) на найденное приближение, обозначим правую часть через y1 и получим формулу (9) при i=0.