Метод Эйлера-Коши. Усовершенствованные методы Эйлера

Усовершенствованные методы Эйлера

Метод Эйлера-Коши

Геометрический вывод Пусть известныданные x(i), y(i) и x(i+1). Более точное приближение y(i+1)≈ φ (x(i+1)) можно получить, если учитывать направления интегральных кривых, характерные для начала и конца отрезка [x(i); x(i+1)]. Иллюстрация вычисления y(i+1) при i=0 приведена на рисунке.

Точка А_i(x(i), y(i)) лежит на некоторой интегральной кривой (при i=0 это точное решение задачи Коши y=φ (x)), касательная к которой в точке A(i) имеет угловой коэффициент f(i)=f(x(i), y(i)). По формуле y(i+1)=y(i)+hf(x(i), y(i)) (i=0, 1, …, n-1)

Находим ординату точки на этой касательной, соответствующей абсциссе x(i+1):

͞ y(i+1)=y(i)+hf(i) (1)

Заметим что в методе Эйлера число ͞ y(i+1) принималось за искомое приближение к φ (x(i+1)). Здесь же оно используется лишь для определения «концевой» точки ͞ A_i+1(x(i+1); ͞ y(i+1)).

Вычислив ͞ f(i+1)=f(x(i+1); ͞ y(i+1)), узнаем направление проходящей через ͞ A(i+1) интегральной кривой в этой точке. Теперь найдем «усредненное» направление кривых на рассматриваемом отрезке: ͞ f(i)=(f(i)+͞ f(i+1))/2 (2) и возьмем в качестве y(i+1) число y(i+1)=y(i)+h͞ f(i) (3).

Геометрический смысл формулы (3) следующий. Если через исходную точку A(i) провести прямую с угловым коэффициентом ͞ f(i) и взять на ней точку A(i+1) с абсциссой x(i+1), то (3) определяет ординату этой точки.

Формулы (1)-(3) в совокупности задают алгоритм последовательного вычисления y(i) методом Эйлера-Коши.

Аналитический вывод: Для простоты ограничимся получением формул (1)-(3) при i=0.

В основе вычислений лежит линейное усечение формулы Тейлора относительно h. Можно ожидать более высокой точности, если вместо линейного усечения брать квадратичное.

Имеет место равенство φ (x1)=φ (x0)+φ ’(x0)h+h^2*φ ’’(x0)/2! +h^3*φ ’’’(c)/3! (c из (x0; x1)) (4), из которого отбрасыванием слагаемого с h^3 получим φ (x1)≈ y0+φ ’(x0)h+h^2*φ ’’(x0)/2! (5).

Подставим в (5) φ ’’(x0)≈ (φ ’(x1)+φ ’(x0))/h, тогда φ (x1)≈ y0+h*(φ ’(x0)+φ ’(x1))/2 (6).

Здесь известно число φ ’(x0)=f(x0; y0). Чтобы выразить φ ’(x1) через значение функции f, найдем «грубое» приближение к φ (x1): ͞ y1=y0+hf(x0, y0) и обозначим через ψ решение уравнения y’=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию: ψ (x1)=͞ y1. Понятно что ψ ’(x1)=f(x1, ψ (x1))=f(x1, ͞ y1)=͞ f1. Поскольку φ и ψ являются родственными решениями, можно взять φ ’(x1)≈ ψ ’(x1)=͞ f1.

Если теперь подставить полученные выражения для производных φ ’(x0) и φ ’(x1) в (6), затем обозначить дробь через ͞ f0, а найденное таким образом приближение к φ (x1) через y1, будем иметь формулы (2) и (3) при i=0.