Классический метод расчета переходных процессов

Расчет переходных процессов классическим методом основан на непосредственном решении описывающих их дифференциальных уравнений. Выражение для свободной составляющей определяется количеством и видом корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение можно получить, приравняв нулю входное сопротивление и заменив на в выражении для входного сопротивления, определенного относительно любой ветви схемы. Рекомендуется определять входное сопротивление относительно ветви с реактивным элементом.

В общем случае, когда корни характеристического уравнения вещественные и не равны между собой, выражение для свободной составляющей имеет вид

.

Если корни характеристического уравнения вещественны и равные, то

.

В случае комплексно-сопряженных корней свободная составляющая

Рекомендуется следующий порядок расчета

1. Рассчитывают установившийся режим до и после коммутации.

2. С помощью уравнений

и

находят свободные составляющие и независимых начальных условий и

3. Составляют характеристическое уравнение и находят его корни.

4. В зависимости от вида корней записывают выражения для искомых переходных токов и напряжений в общем виде, в которых неизвестными являются постоянные интегрирования. Существуют два способа определения постоянных интегрирования.

5. После определения постоянных интегрирования, записывают окончательно выражения для токов и напряжений переходного режима

.

Расчет переходных процессов в цепях первого порядка

1. В схеме (рис. 1.1а)

Найти выражения для токов и напряжения переходного процесса.

Пример решения

До коммутации в схеме был установившийся режим постоянного тока

Напряжение на конденсаторе в момент коммутации не изменяется, следовательно,

Принужденный режим послекоммутационной схемы обусловлен воздействием постоянной ЭДС. Поэтому, начиная с момента , принужденные составляющие токов и напряжений остаются постоянными:

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни

Определяем комплекс входного сопротивления послекоммутационной схемы относительно ветви с конденсатором (рис. 1.1б):

тогда характеристическое уравнение

Корень характеристического уравнения

Записываем в общем виде выражения для токов и напряжения на конденсаторе в переходном режиме для послекоммутационной схемы:

и

Постоянные интегрирования можно определить двумя способами.

Первый способ

Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для принужденного режима и решаем ее при

,

откуда

Определяем постоянные интегрирования при :

Второй способ

Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для свободного режима при (рис, 1.1б), когда исключен источник принужденного режима.

откуда

Подставив постоянные интегрирования в выражения токов и напряжения на конденсаторе в общем виде для переходного режима, получим