Избранные задачи

1. Пусть последовательность { } сходится и ее предел a > 0. Можно ли из { } выделить подпоследовательность, все члены которой отрицательны? (не положительны?).

2. Пусть в некоторой окрестности точки a лежит бесконечно много членов последовательности { }. Следует ли отсюда, что а является пределом последовательности { }? (Что никакая точка вне этой окрестности не является пределом последовательности { }?).

3. Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности { }. Следует ли отсюда, что а является пределом последовательности { }? (Что последовательность { } является ограниченной?)

4. Пусть последовательность {| |} сходится. Будет ли из этого вытекать, что последовательность { } будет сходящейся? (Будет ли из этого вытекать, что последовательность { } будет ограниченной?)

5. Пусть последовательность { } сходится и М=sup{ }, m=inf{ }. Докажите, что: либо n такое, что =M; либо k такое, что =m; либо n, k такие, что =M, =m.

6. Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой?

7. Известно, что в некоторой окрестности нуля находится бесконечное число членов последовательности. Следует ли отсюда, что последовательность является бесконечно малой? (бесконечно большой? ограниченной?)

8. Пусть последовательность { } сходится, а { } расходится. Докажите, что {c } сходится при любом c, { }, расходятся. Постройте примеры, показывающие, что последовательность { } может быть как сходящейся, так и расходящейся.

9. Покажите, что для того чтобы монотонно возрастающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.

10. Покажите, что для того чтобы монотонно убывающая последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

11. Верно ли утверждение “Если последовательность неограниченна, то из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность”?

12. Покажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

13. Покажите, что если монотонная последовательность является неограниченной, то из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.

14. Пусть последовательность { } такова, что её подпоследовательности , , сходятся. Покажите, что тогда сама последовательность { } будет сходящейся.

15. Пусть , постройте такую последовательность { }, из которой можно выделить две подпоследовательности и , одна из которых сходится к , а вторая - к .

16. Постройте такую последовательность { }, из которой для любого рационального числа r можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к r.

17. Будет ли последовательность, удовлетворяющая условиям задачи 2, ограниченной?

18. Можно ли построить такую последовательность { }, из которой для любого действительного числа а можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к а?

19. Покажите, что из любой ограниченной последовательности { } можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

20. Верно ли утверждение ‘Пусть при всех n и последовательности { } и { } ограничены. Тогда, каковы бы ни были сходящиеся последовательности и , то ”?

21. Существует ли такая последовательность { }, что из любой её подпоследовательности можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность ?

22. Существует ли такая последовательность { }, что из любой её подпоследовательности можно выделить неограниченную частичную подпоследовательность ?

23. Существует ли такая последовательность { }, что из любой её подпоследовательности можно выделить как сходящуюся частичную подпоследовательность так и неограниченную частичную подпоследовательность?

24. Пусть из любой подпоследовательности последовательности { } можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность . Покажите, что исходная последовательность { } будет ограниченной.

25. Пусть из любой подпоследовательности последовательности { } можно выделить частичную подпоследовательность , сходящуюся к . Покажите, что исходная последовательность { } будет сходиться к .

26. Для того чтобы последовательность { } сходилась к необходимо и достаточно, чтобы из любой подпоследовательности последовательности { } можно выделить частичную подпоследовательность , сходящуюся к .

27. Из сходящейся последовательности { } произвольным образом выбираем бесконечное число членов { } Покажите, что из любой подпоследовательности последовательности { } можно выделить частичную последовательность , сходящуюся к .

28. Из сходящейся последовательности { } произвольным образом выбираем бесконечное число членов { } Покажите, что последовательность { } сходится. Найдите предел этой последовательности.